高中数学人教A版3第一章计数原理单元测试 优秀奖

第一章复习内容月考卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．若5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种C．25种 D．32种2．计算()．A．1B．C．D．3．为了支援地震灾区，北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给汶川地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，则不同的送法种数为 （）A．10374B．22176C．10D．184．设，则的值为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的直角三角形的个数最多有()A．16B．24C．32D．486．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A．B．16C．24D．327．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A．432B．288C．216D．1088．若的展开式中的第5项为常数，则n为（）A．8B．10C．12D．159．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子．现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数有（）A．10B．20C．30D．4010．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排一人，则不同的安排方案有（）A．24种B．36种C．48种D．72种11．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有A．70种B．80种C．100种D．140种12．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（） A．60 B．48 C．36 D．24二、填空题（每小题5分，共20分）13．（m，n为正整数）的展开式中x的系数为13，则x2的系数是．14．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种．（用数字作答）15．若,则．16．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是，三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题10分）一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．（1）某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？（2）某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？18．（本小题12分）有6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？19．（本小题12分）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数．20．（本小题12分）新学期开始，某校新招聘了6名教师，要把他们安排到3个宿舍去，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙不能到三号宿舍，不同的安排方法有多少种？21．（本小题12分）如图所示，某市A有四个邻县B、C、D、E，现备有5种颜色，问有多少种不同的涂色方式，使每相邻两块不同色，且每块只涂同一种颜色?22．（本小题12分）是否存在等差数列，使，对任意都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．第一章复习内容月考卷答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．答案:D解：根据分步乘法计数原理，每位同学均有两种不同的报名方法，所以有25=32种，2．答案:．A解：由二项式定理，可知原式．3．答案:C解：分三类，第一类：一所小学得2台，一所得3台，一所得4台，有种送法；第二类：一所小学2台，一所小学2台，一所5台，有3种送法；第三类：每所小学3台，有1种送法；共有10种送法．4．答案:A解：令=1，右边为；左边把代入，5．答案:B解：圆周上的8个等分点，最多可构成四条直径，而直径所对的圆周角为直角；又每条直径对应着6个直角三角形，共有个直角三角形．6．答案:C解：将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．故选C．7．答案:C解:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再从剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排．则共有故选C．8．答案：C解：为常数，所以=0，故n=12，选C．9．答案:B解：先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有C种；剩下的三个球，不失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为C，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有C·C=20种10．答案:B解：分两类：第一类是第一道工序由甲照看，则第四道工序由丙照看，则共有种不同的安排；第二类是第一道工序由乙照看，则第四道工序有种安排，其它工序有种安排，因此第二类共有种安排，由分类加法原理知共有12+24=36种不同的安排．11．答案：A解：方法1：当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有+=14(种)组法，从9人中选择3人，共有=84(种)组法，所以男、女医生都有的情况共有84-14=70(种)．方法2：当小分队中有1名女医生时，有=40(种)组法；当小分队中有2名女医生时，有=30(种)组法，故共有70种组队方案．12．答案:B解：分二类：第一类，每个面上有4个顶点共构成条直线，每条直线和对面构成一个“平行线面组”，共构成36个；第二类，对棱构成6个面，每个面有2个“平行线面组”，共构成12个，因此在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是12+36=48个．二、填空题（每小题5分，共20分）13．答案:31或40解：由题设知：，经验证可得或，所以的系数为31或40．14．答案:36解．先除甲、乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有种15．答案:256解：因为，所以或，解得（舍去）或；令得16．答案:3，5解：设男学生有人，则女学生有人，则即三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题10分）解：（1）任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，由分类加法计数原理知有10+12=22种不同的取法．（2）从移动、联通卡中任取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步计数原理知，共有种不同的取法18．（本小题12分）解：分三类：若取1个黑球，和另外3个球，排4个位置，有种；若取2个黑球，从另外3个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，不需要排列，共有种；若取3个黑球，从另外3个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，共有种；所以共有24+36+12=72种．19．（本小题12分）解：令得的展开式的各项系数之和为，由二项展开式得，令得r=2，所以的展开式中的常数项是第3项，即由=得n=7．对于由二项展开式得所以的项是第4项，其二项式系数是．20．（本小题12分）解：第一步甲到一号宿舍，然后安排乙，若乙到一号，则丙只能到2号，余下的三人中有一人到2号，分法为，另两个去三号，这类分法共有种；若丙到一号，乙到二号分法与上面一样，也有种；若乙、丙均分到二号，则余下的三个人有一人去1号，分法仍为，这样总的分法为++=9种．21．（本小题12分）解：把问题分成三类：第一类，用5种颜色涂，共有种涂法；第二类，用4种颜色涂，选色的方法有种，再选1种颜色涂A有种方法，剩余的4块涂3种颜色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色，选1组不相邻区域的方法有2种，在余下的三种颜色中选一种颜色涂这不相邻区域有种方法，最后剩下两种颜色涂2个区域有种，由分步乘法计数原理，共有种；第三类，用3种颜色涂，选色方法有种，涂A时，有种，涂B、D时有种，涂E、C时只有一种，由分步乘法计数原理共有=60种．由分类加法计数原理，共有120+240+60=420种不同的涂色方法．22．（本小题12分）解：假设存在等差数列满足要求，则＝＝由及：原式=依题意，所以对恒成立，所以,所求的等差数列存在，其通项公式为．备选题目1．的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是．答案:8解：，由题意得n-8=0，得．2．如图，以AB为直径的半圆周上有异于A、B的6个点．线段AB上有异于A、B的4个点．问：（1）以这10个点（不包括A、B）中的3个点为顶点可作几个三角形？其中含点的三角形有几个？（2）以图中的12个点中的4个点为顶点可作多少个四边形？解：（1）因为四点共线，所以以这10个点（不包括A、B）中的3个点为顶点可作三角形的个数为；其中含点的三角形有个（2）以图中的12个点中的4个点为顶点可作个四边形．CC6C5C4C3C2C1D4D3D2D1BA3．让4对孪生兄弟排成一排，每对孪生兄弟不能分开，共有多少种排法？分析：将每对孪生兄弟看成一个整体进行排列，然后内部再进行排列．解：将4对孪生兄弟各看成一个，就是四个元素的全排列，有种排法，又每对孪生兄弟内部又各有种排法，根据分步乘法计数原理共有（种）排法．4．为了掀起春季学习高潮，育才和新星等13所中学联合举办数学、物理、化学和英语竞赛，规定每名同学只能参加一种竞赛，且每校的任2名同学不能参加同一种竞赛．现在新星中学从包含甲的某学习小组中选出4名选手参加比赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问这个小组一共有多少名同学？．解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲进行分类：第一类，不选甲，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛，有种方法，共有种参赛方式，由分类加法计数原理共有种方法，根据题意，得=72即经比较知n=5．5．从8个不同的数中选出5个数构成函数（）的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是对应的函数值，那么不同的选法种数为（）A． B． C． D．无法确定答案:．C．