高中数学人教A版3第一章计数原理排列与组合 获奖作品

1．2排列与组合1．排列(一)[学习目标]1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．[知识链接]1．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．2．排列与排列数的区别是什么？答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．[预习导引]1．排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．3．排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！).要点一排列的概念例1判断下列问题是否是排列问题(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．∴(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．规律方法确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认．(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．跟踪演练1下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．要点二列举法解决排列问题例2(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解(1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．规律方法“树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．跟踪演练2将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．要点三排列数公式的应用例3求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)计算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))；(3)解方程：Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).解(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n)；(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1；(3)根据原方程，x应满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，x∈N*))解得x≥3，x∈N*.根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．因为x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝5eq\f(3,4)(因为x为整数，所以应舍去)．所以原方程的解为x＝3.规律方法1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题．2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算．跟踪演练3(1)解不等式：Aeq\o\al(x＋2,8)＜6Aeq\o\al(x,8)；(2)证明Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)＝nAeq\o\al(n,n)，并用此结论计算Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋8Aeq\o\al(8,8).(1)解原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8！,[8－（x＋2）]！)＜6×\f(8！,（8－x）！)，,x＋2≤8且x∈N*，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－15x＋50＜0，,x≤6且x∈N*.))即5＜x≤6且x∈N*，从而解得x＝6.(2)证明Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)＝(n＋1)！－n!＝(n＋1)n！－n！＝n·n！＝nAeq\o\al(n,n).Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋8Aeq\o\al(8,8)＝(Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(1,1))＋(Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2))＋…＋(Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(7,7))＋(Aeq\o\al(9,9)－Aeq\o\al(8,8))＝Aeq\o\al(9,9)－Aeq\o\al(1,1)＝9！－1＝362879.题型四排列的简单应用例4(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个科研小课题由高二·三班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研课题，高二·三班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？解(1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法是Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(种)．(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题，共有5×5×5＝125种不同的安排方法．跟踪演练4用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的数？(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？解(1)Aeq\o\al(3,6)＝120(个)．(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝216(个)．(3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有3×6×5＝90(个).1．下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④B．①②C．④D．①③④答案A解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙答案C解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑．3．设m∈N*，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．Aeq\o\al(6,15－m)B．Aeq\o\al(15－m,20－m)C．Aeq\o\al(6,20－m)D．Aeq\o\al(5,20－m)答案C解析因为15－m，16－m，…，20－m中的最大数为20－m，且共有20－m－(15－m)＋1＝6(个)．所以(15－m)(16－m)…(20－m)＝Aeq\o\al(6,20－m).4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．答案1680解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(种)．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.一、基础达标\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝ ()A．12 B．24 C．30 D．36答案D解析Aeq\o\al(6,7)＝7×6×Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6×Aeq\o\al(4,5)，所以原式＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.2．18×17×16×…×9×8＝ ()A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18) C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)答案D3．若x＝eq\f(n！,3！)，则x＝ ()A．Aeq\o\al(3,n) B．Aeq\o\al(n－3,n) C．Aeq\o\al(n,3) D．Aeq\o\al(3,n－3)答案B4．与Aeq\o\al(7,10)·Aeq\o\al(2,2)不等的是 ()A．Aeq\o\al(9,10) B．81Aeq\o\al(8,8) C．10Aeq\o\al(9,9) D．Aeq\o\al(10,10)答案B5．若Aeq\o\al(5,m)＝2Aeq\o\al(3,m)，则m的值为 ()A．5 B．3 C．6 D．7答案A6．若Aeq\o\al(m,n)＝17×16×15×…×5×4，则n＝________，m＝________.答案17147．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？解坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有Aeq\o\al(6,10)＝151200种坐法．二、能力提升8．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有 ()A．50 B．60 C．120 D．90答案C解析5本书进行全排列，Aeq\o\al(5,5)＝120.9．(2023·四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是 ()A．9 B．10 C．18 D．20答案C解析首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有Aeq\o\al(2,5)＝20种排法，因为eq\f(3,1)＝eq\f(9,3)，eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是20－2＝18.10．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)．答案60解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(种)．11．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是Aeq\o\al(2,16)＝16×1