高中数学苏教版2第一章导数及其应用 一等奖

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．【解析】因为y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9.当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0.故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．【答案】92．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设半径为r，则高h＝eq\f(27,r2)，∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·eq\f(27,r2)＋πr2＝eq\f(54π,r)＋πr2.令S′＝2πr－eq\f(54π,r2)＝0，得r＝3，∴当r＝3时，用料最省．【答案】33．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．【解析】设直棱柱的底面边长为a，高为h，依题意，eq\f(\r(3),4)a2·h＝V，∴ah＝eq\f(4V,\r(3)a).因此表面积S＝3ah＋2·eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(4\r(3)V,a)＋eq\f(\r(3),2)a2.∴S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，由S′＝0，得a＝eq\r(3,4V).易知当a＝eq\r(3,4V)时，表面积S取得最小值．【答案】eq\r(3,4V)4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润为______元．(毛利润＝销售收入－进货支出)【解析】设毛利润为L(p)由题意知：L(p)＝pQ－20Q＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．【答案】230005．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．图1­4­4【解析】设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝eq\f(k,ab)，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝eq\f(30－a,2＋a).于是y＝eq\f(k,ab)＝eq\f(k,\f(30a－a2,2＋a))＝eq\f(k2＋a,30a－a2).(0<a<30)令y′＝eq\f(a2k＋4ak－60k,30a－a22)＝0得a＝6或a＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．6．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______.【导学号：01580022】【解析】设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋eq\f(512,y)(y>0)，求导数，得l′＝2－eq\f(512,y2).令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0<y<16时，l′<0；当y>16时，l′>0.所以y＝16是函数l＝2y＋eq\f(512,y)(y>0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝eq\f(512,16)＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．【答案】32米16米7．如图1­4­5，将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝eq\f(梯形的周长2,梯形的面积)，则s的最小值是________．图1­4­5【解析】设DE＝x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为eq\f(1,2)(x＋1)·eq\f(\r(3),2)(1－x)＝eq\f(\r(3),4)(1－x2)，∴s＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)1－x2)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，x∈(0,1)，设h(x)＝eq\f(x2－6x＋9,1－x2)，h′(x)＝eq\f(－6x2＋20x－6,1－x22).令h′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝3(舍)，∴h(x)最小值＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝8，∴s最小值＝eq\f(4\r(3),3)×8＝eq\f(32\r(3),3).【答案】eq\f(32\r(3),3)8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】设轮船的速度为xkm/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．因为6＝k×103，所以k＝eq\f(3,500)，所以Q＝eq\f(3,500)x3.所以行驶每千米的费用总和为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)(x>0)．所以y′＝eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2).令y′＝0，解得x＝20.因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，所以当x＝20时，y取得最小值，即此轮船以20km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．【答案】20二、解答题9．如图1­4­6，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1­4­6【解】设小正方形的边长为xcmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))，则盒子底面长为(8－2x)cm，宽为(5－2x)cm，V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，V′＝12x2－52x＋40，令V′＝0，得x＝1或x＝eq\f(10,3)(舍去)，V极大值＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1cm时，盒子容积最大．10．(2023·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】设每次进书x千册(0<x<150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即eq\f(x,2)，故有y＝eq\f(150,x)×30＋eq\f(x,2)×40，y′＝－eq\f(4500,x2)＋20＝eq\f(20x＋15x－15,x2)，令y′＝0，得x＝15，列表如下：x(0,15)15(15,150)y′－0＋y单调递减极小值单调递增所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值惟一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为eq\f(150,15)＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．能力提升]1．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．【解析】设广场的长为x米，则宽为eq\f(40000,x)米，于是其周长为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x>0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0<x<200时，y′<0；当x>200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】8002．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.【解析】设该漏斗的高为xcm，体积为Vcm3，则底面半径为eq\r(202－x2)cm，V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0<x<20)，则V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′>0；当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0.所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取得最大值．【答案】eq\f(20\r(3),3)3．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．【解析】设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为y元．依题意得y＝eq\f(500,x)(960＋＝eq\f(480000,x)＋300x，x∈(0，35]．则y′＝300－eq\f(480000,x2)，x∈(0,35]．又当0＜x≤35时，y′<0，所以y＝eq\f(480000,x)＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝eq\f(480000,x)＋300x取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．【答案】354．如图1­4­7，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．图1­4­7【解析】设CD＝x，则点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝eq\f(2\r(3),3)时，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).【答案】eq\f(4\r(3),9)5．(2023·广州高二检测)如图1­4­8所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别