【课件】变化率问题（2课时）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章§5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题（2课时）

高二数学新授课1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想.学习目标区间测速车辆油耗高台跳水思考引入一、平均速度二、瞬时速度三、抛物线的切线的斜率重点内容问题1

在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，根据上述探究，你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2

内的平均速度吗？知识建构1知识建构

为了精准刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，

时的瞬时速度是多少？

我们先考察

附近的情况.任取一个时刻

，

是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当时，在1之前；当时，在1之后.知识建构2

时,在时间段

内

时，在时间段

内…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?知识建构2

我们发现，当趋近于0时，即无论

t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值.从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度，因此，运动员在

时的瞬时速度是.

为了表述方便，我们用表示“当，

趋近于0时，平均速度趋近于确定值”.知识建构21.瞬时速度：物体在

的速度称为瞬时速度.2.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为

.3.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度

就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度.注意点：Δt可正，可负，但不能为0.某一时刻知识建构例1

某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.学有所用1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.解求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，＝1＋Δt，即物体的初速度为1m/s.学有所用解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.学有所用问题3

前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题，它反映到我们几何上是什么意思？知识建构3

xyO121234P知识建构3割线位置

无限逼近

切线位置

割线斜率

无限逼近

切线斜率记点P的横坐标x=1+Δx，则点P的坐标即为

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割线P0P的斜率知识建构3从代数的角度列表展示上述过程：

让横坐标变化量Δx趋近于0，割线斜率的趋近于2.

知识建构3

我们把”2”叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限“，记为

从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T。割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.

因此，切线P0T的斜率k0=2.知识建构31.切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.2.切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝

.知识建构23.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率.知识建构2P64页思考问题，小组完成回答问题答

：

前者的几何意义是过点（1，h(t)）、(1+Δt,h(1+Δt))的割线的斜率；后者是过点（1，h(t)）的切线的斜率。知识建构3例3

求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程.所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.学有所用延伸探究本例函数不变，求与2x－y＋4＝0平行的该曲线的切线方程.学有所用＝2x0－2＋Δx，故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切点为(2,3)，所求切线方程为2x－y－1＝0.学有所用(1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤(2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标.反思感悟1.知识清单：(1)平均速度.