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文档简介
第五章§5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题(2课时)
高二数学新授课1.通过实例分析,经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程.2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系.3.体会极限思想.学习目标区间测速车辆油耗高台跳水思考引入一、平均速度二、瞬时速度三、抛物线的切线的斜率重点内容问题1
在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t+11,根据上述探究,你能求该运动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2
内的平均速度吗?知识建构1知识建构
为了精准刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,
时的瞬时速度是多少?
我们先考察
附近的情况.任取一个时刻
,
是时间改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0.当时,在1之前;当时,在1之后.知识建构2
时,在时间段
内
时,在时间段
内…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?知识建构2
我们发现,当趋近于0时,即无论
t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值.从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于时的瞬时速度,因此,运动员在
时的瞬时速度是.
为了表述方便,我们用表示“当,
趋近于0时,平均速度趋近于确定值”.知识建构21.瞬时速度:物体在
的速度称为瞬时速度.2.瞬时速度的计算:设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h(t),则物体在t0时刻的瞬时速度为
.3.瞬时速度与平均速度的关系:从物理角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度
就无限趋近于t=t0时的瞬时速度.注意点:Δt可正,可负,但不能为0.某一时刻知识建构例1
某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.即物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s.学有所用1.若本例中的条件不变,试求物体的初速度.解求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度,=1+Δt,即物体的初速度为1m/s.学有所用解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.2.若本例中的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.学有所用问题3
前面我们从物理的角度研究了瞬时速度的问题,它反映到我们几何上是什么意思?知识建构3
xyO121234P知识建构3割线位置
无限逼近
切线位置
割线斜率
无限逼近
切线斜率记点P的横坐标x=1+Δx,则点P的坐标即为
(1+Δx,(1+Δx)2).于是割线P0P的斜率知识建构3从代数的角度列表展示上述过程:
让横坐标变化量Δx趋近于0,割线斜率的趋近于2.
知识建构3
我们把”2”叫做“当Δx无限趋近于0时,的极限“,记为
从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T。割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.
因此,切线P0T的斜率k0=2.知识建构31.切线:设P0是曲线上一定点,P是曲线上的动点,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.2.切线的斜率:设P0(x0,y0)是曲线y=f(x)上一点,则曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线的斜率为k0=
.知识建构23.切线的斜率与割线的斜率的关系:从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T,这时,割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.注意点:极限的几何意义:曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率.知识建构2P64页思考问题,小组完成回答问题答
:
前者的几何意义是过点(1,h(t))、(1+Δt,h(1+Δt))的割线的斜率;后者是过点(1,h(t))的切线的斜率。知识建构3例3
求抛物线f(x)=x2-2x+3在点(1,2)处的切线方程.所以切线的方程为y-2=0×(x-1),即y=2.学有所用延伸探究本例函数不变,求与2x-y+4=0平行的该曲线的切线方程.学有所用=2x0-2+Δx,故有2x0-2=2,解得x0=2,所以切点为(2,3),所求切线方程为2x-y-1=0.学有所用(1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤(2)求曲线过某点的切线方程需注意,该点不一定是切点,需另设切点坐标.反思感悟1.知识清单:(1)平均速度.
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