高中数学北师大版2第二章变化率与导数第2章4

第二章§4一、选择题1．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2 B．e\f(ln2,2) D．ln2解析：由已知有f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，所以f′(x0)＝2⇒lnx0＋1＝2⇒x0＝e.答案：B2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：y′＝[(x＋1)2(x－1)]′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1∴y′|x＝1＝4.答案：D3．曲线f(x)＝eq\f(1,5)x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，则该切线方程为()A．x－y＋1＝0 B．x－y＋5＝0C．5x－5y±4＝0 D．不确定解析：设M(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝\f(1,5)x\o\al(5,0),x\o\al(4,0)＝1))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1,y0＝\f(1,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1,y0＝－\f(1,5)))即切点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,5)))所求切线方程为y±eq\f(1,5)＝x±1即5x－5y±4＝0.答案：C4．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝eq\f(－4ex,1＋ex2)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，因为ex＞0，所以由均值不等式得k≥eq\f(－4,2\r(ex×\f(1,ex))＋2)，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以eq\f(3π,4)≤α＜π.答案：D二、填空题5．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(1)＝________________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)答案：－26．若曲线y＝x3－2x＋a与直线y＝x＋1相切，则常数a＝______________.解析：由y′＝3x2－2＝1得切点为(1,2)和(－1,0)当x＝1时有a－1＝2，∴a＝3当x＝－1时有1＋a＝0，∴a＝－1答案：3或－1三、解答题7．求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x＋2)(x－3)；(2)f(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)；(3)f(x)＝eq\f(sinx,1＋sinx)；(4)f(x)＝lgx－3x.解析：(1)因为f(x)＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6，所以f′(x)＝2x－1；(2)因为f(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)，所以f′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(－2,x3)＝eq\f(2,x3)－eq\f(1,x2)＝eq\f(2－x,x3)；(3)因为f(x)＝eq\f(sinx,1＋sinx)，所以f′(x)＝eq\f(cosx1＋sinx－sinxcosx,1＋sinx2)＝eq\f(cosx,1＋sinx2)；(4)因为f(x)＝lgx－3x，所以f′(x)＝eq\f(1,xln10)－3xln3.8．已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解析：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0，故切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，∵P(x0，y0)在曲线上，∴y0＝xeq\o\al(2,0)，∴切线方程为：y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得：5－xeq\o\al(2,0)＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2×1×(x－1)或y－25＝2×5×(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.9．设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为点P，且曲线在点P处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在点(2,0)处有水平切线，试确定函数的解析式．解析：∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P(0，d)．又∵曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，点P坐标适合方程，从而d＝－4.又∵切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12，而y′＝3