高中数学苏教版第二章数列 全国一等奖

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于________．【解析】∵A，B，C成等差数列，∴B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又∵A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，从而B＝60°.【答案】60°2．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项是________．【解析】因为a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＝eq\r(3)－eq\r(2)，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝eq\r(3)＋eq\r(2)，所以eq\f(a＋b,2)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)3．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.【解析】由等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，∴36＝2(a5＋a8)，故a5＋a8＝18.【答案】184．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.【导学号：91730029】【解析】∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列，其公差为eq\f(21－7,2)＝eq\f(14,2)＝7，∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.【答案】355．(2023·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是eq\f(1,x＋1)，eq\f(5,6x)，eq\f(1,x)，那么这个数列的第101项是________．【解析】由已知得2×eq\f(5,6x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x)，解得x＝2，∴a1＝eq\f(1,3)，d＝eq\f(1,12)，∴a101＝eq\f(1,3)＋100×eq\f(1,12)＝8eq\f(2,3).【答案】8eq\f(2,3)6．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝________.【解析】由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.【答案】87．(2023·镇江高二检测)已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则eq\f(a2－a1,b2)＝________.【解析】设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝eq\f(－4－－1,4－1)＝－1，b2＝eq\f(－5＋1,2)＝－2，故知eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)＝________.【解析】由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝eq\f(4π,3)，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝taneq\f(8π,3)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).【答案】－eq\r(3)二、解答题9．已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差数列．【证明】∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b).∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．10．(2023·扬州高二检测)若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a【解】显然a－4<a＋2，(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，∴(2)若a－4,26－2a，a则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.能力提升]1．(2023·南京高二检测)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq\f(1,2)a8的值为________．【解析】∵a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－eq\f(1,2)a8＝(a6＋d)－eq\f(1,2)(a6＋2d)＝eq\f(1,2)a6＝eq\f(1,2)×16＝8.【答案】82．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.【导学号：91730030】【解析】设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝eq\f(67,66)，故第5节的容积为eq\f(67,66)升．【答案】eq\f(67,66)3．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．【解析】第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.【答案】n2＋n4．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：∵an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3an＋1,an)＝3＋eq\f(1,an)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3.即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an