高中数学北师大版1第二章圆锥曲线与方程单元测试 获奖作品

圆锥曲线单元检测试题一、选择题1．已知抛物线的焦点坐标为（）则该抛物线的标准方程为(C)A．B．C．D．【解析】由题意设抛物线方程为，因为焦点为（），所以，即，所以抛物线方程为2．是“方程表示椭圆”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当时，方程不一定表示椭圆；但当方程表示椭圆时，必有，所以是必要不充分条件3．已知双曲线的方程为，那么它的焦距为(A)A．10B．5C．D．【解析】由双曲线知识得所以即，所以双曲线的焦距为10抛物线，F为焦点，则表示（D）A.F到准线的距离B．F到轴的距离C．F到准线的距离的D．F到准线的距离的【解析】因为焦点到准线的距离为，所以为焦点F到准线距离的5.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则等于(C)B．C．D．【解析】因为焦点在轴上，所以，即，所以，即6．已知，则双曲线有(D)A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点【解析】根据双曲线中间的关系可知两个双曲线有相同的焦点．7.P是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，若,则的大小为(B)A．B．C．D．【解析】由椭圆定义可知，又，所以，又因为,由余弦定理可知,所以8.若抛物线上一点P到焦点的距离为10，则点P的坐标为(C)B．C．D．【解析】由抛物线定义可知点P到准线的距离也为10，设点P的坐标为（），则，所以，即，解得，所以点P的坐标为9.已知双曲线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于eq\f(14,5)，则该双曲线的标准方程为（A）A.B.C．D．【解析】由于在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝eq\f(4,5).根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于eq\f(14,5)－eq\f(4,5)＝2.故设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝4，所以a＝eq\f(1,2)c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝110.已知P为抛物线上任意一点，记点P到轴的距离为，对于给定点A(4，5),则的最小值是（C）A.B.C.D.5【解析】因为点A在抛物线的外部，记P到准线的距离为,则,又轴到准线的距离为1，所以的最小值是11．已知是双曲线的两个焦点，是经过且垂直于轴的双曲线的弦，如果,则双曲线的离心率为(D)．A．B．C．D．【解析】由题意可知,即．所以，即，所以解得12．已知椭圆E:的右焦点是F（），过点F的直线交椭圆E于A,B两点，若AB的中点M的坐标为（），则椭圆E的方程为(B)A．B．C．D．【解析】因为焦点F（），所以=1\*GB3①，又AB的中点坐标为M（），所以即=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②解得，所以椭圆方程为填空题13.若抛物线的焦点坐标是双曲线的左顶点，则该抛物线的标准方程为【解析】因为双曲线的左顶点为（），所以设抛物线的标准方程为，所以，即，所以所求抛物线的标准方程为14.与双曲线有共同的渐近线，且过点P（8,12）的双曲线方程为【解析】由题意可设双曲线方程为，因为双曲线过点P（8,6），所以，解得，所以所求的双曲线方程为15.已知点在椭圆上，则的取值范围为【解析】因为点在椭圆上，所以，所以16．直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________．【解析】因为直线恒过点（0,1），当点在椭圆的内部是直线与椭圆总有公共点，所以满足，解得解答题17.已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程【解】(1)设椭圆方程为，由已知，又，解得，所以，故所求方程为.(2)解法1：由题知直线的斜率存在且不为，所以设直线方程为，代入椭圆方程得即则解得故直线方程是即18.已知定点F(0,1)，动点C到定点F距离比它到轴的距离大1，(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))的最小值.【解】(1)动点C到定点F距离比它到轴的距离大1,所以动点C到定点F的距离等于它到定直线的距离，由抛物线的定义可知动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.又易得点R的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，－1))，∴eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(2,k)，y1＋1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,k)，y2＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(2,k)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,k)))＋(kx1＋2)·(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋2k))(x1＋x2)＋eq\f(4,k2)＋4＝－4(1＋k2)＋4keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋2k))＋eq\f(4,k2)＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))＋8.∵k2＋eq\f(1,k2)≥2，当且仅当k2＝1时取等号，∴eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))≥4×2＋8＝16，即eq\o(RP,\s\up6(→))·eq\o(RQ,\s\up6(→))的最小值为16.19.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2eq\r(3).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；【解】(1)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝eq\r(3)，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝361－k2>0，,xA＋xB＝\f(6\r(2)k,1－3k2)<0，,xAxB＝\f(－9,1－3k2)>0，))解得eq\f(\r(3),3)<k<1.∴当eq\f(\r(3),3)<k<1时，l与双曲线左支有两个交点．20．已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，右焦点为(2eq\r(2)，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积.【解】(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4)；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq