高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试【市一等奖】

章末知识整合eq\x(一、函数与方程思想的应用)如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解析：(1)设圆柱的底面半径为r，则它的侧面积为S＝2πrx，由eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，解得：r＝R－eq\f(R,H)x，所以：S＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2.(2)由(1)知：S＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2＝－eq\f(2πR,H)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(H,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)πRH.∴当x＝eq\f(H,2)时，圆柱的侧面积最大．规律总结：1.函数、方程历来都是高考考查的重点内容，它可以与高中教学的多个知识点有机结合，已成为高考永恒的热点．2．最值问题转化成二次函数是立体几何与代数相结合的典范，应体会此方法的应用技巧．►变式训练1．一个圆台的上、下两底面面积分别是π和49π，一个平行于底面的截面的面积为25π，则这个截面与上、下两底面的距离之比是________．解析：圆台上、下两底面半径比为1∶7，截面与底面的半径比为5∶7，圆台扩展为圆锥，轴截面如右图，所以h2＋h3＝6h1，h2＝4h1.所以h3＝2h1.这个截面与上、下底面的距离之比为2∶1.答案：2∶12．圆锥的底面半径为2cm，高为4cm分析：画出轴截面图，在平面中解决．解析：如右图，为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为r，母线长为l，S圆柱侧＝2π·lr.∵eq\f(r,2)＝eq\f(4－l,4)，∴l＝4－2r.∴S圆柱侧＝2π·lr＝2π·r·(4－2r)＝－4π(r－1)2＋4π≤4π.∴当r＝1时，圆柱的侧面积最大且Smax＝4πcm2.eq\x(二、转化与化归思想的应用)如下图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点．求证：平面PAC⊥平面PBC.分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可．证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC.又∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥BC.∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC⊂面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.规律总结：1.证明面面平行或垂直，通常采用如下两种方法：①利用判定定理；②利用性质定理．无论用哪种方法证明，都是利用转化的思想方法，将面面关系转化为线线关系来证明，将空间问题转化为平面问题处理，体现了转化思想的实质——从高维到低维、从复杂到简单．2．运用转化与化归的思想寻求解题思路时，常用如下几种策略：(1)已知与未知的转化．由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径；(2)正面与反面的转化．在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到事半功倍的效果；(3)数与形的转化．数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求；(4)一般与特殊的转化，特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊中内含的本质联系，通过归纳演绎，得出一般结论，从而使问题得以解决；(5)复杂与简单的转化．把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则．►变式训练3．已知圆柱的高为5π，底面半径为2eq\r(3)，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA＝π，在母线BB1上取一点Q，使B1Q＝2π，则圆柱侧面上P、Q两点间的最短距离为________．解析：如图甲，沿圆柱的母线AA1剪开得矩形(如图乙)，过点P作PE∥AB交BB1于点E，令PA＝a，B1Q＝b，则PE＝AB＝eq\f(1,2)·2πR＝πR＝2eq\r(3)π，QE＝h－a－b＝2π.∴PQ＝eq\r(PE2＋QE2)＝eq\r(（πR）2＋（h－a－b）2)＝4π.答案：4π4．如右下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.证明：方法一过点M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足(如下图)，连接PQ.∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.又NQ＝eq\f(\r(2),2)BN＝eq\f(\r(2),2)CM＝MP.∴MPQN是平行四边形．∴MN∥PQ.又PQ⊂平面BCE，而MN⊄平面BCE，∴MN∥平面BCE.方法二过点M作MG∥BC，交AB于点G(如右图)，连接NG，∵MG∥BC，BC⊂平面BCE，MG⊄平面BCE，∴MG∥平面BCE.又eq\f(BG,GA)＝eq\f(CM,MA)＝eq\f(BN,NF)，∴GN∥AF∥BE.同样可证明GN∥平面BCE.又MG∩NG＝G.∴平面MNG∥平面BCE.又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.eq\x(三、整体思想的应用)一个长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．解析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为l，则由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（xy＋yz＋zx）＝11，,4（x＋y＋z）＝24.))由4(x＋y＋z)＝24得x＋y＋z＝6，从而由长方体对角线性质得：l＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(（x＋y＋z）2－2（xy＋yz＋zx）)＝eq\r(62－11)＝5.规律总结：1.整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理．2．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何证明等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形(体)等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．►变式训练5．如右下图，长方体三个面的对角线长分别是a、b、c，求长方体对角线AC′的长．解析：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，由题意得：对角线AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)，而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，①,x2＋z2＝b2，②,y2＋z2＝a2.③))由①、②、③得：x2＋y2＋z2＝eq\f(a2＋b2＋c2,2)，所以对角线：AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(1,2)eq\r(2（a2