高中数学人教A版4坐标系二极坐标系 课时提升作业三

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业三极坐标和直角坐标的互化一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2023·西安高二检测)若M点的极坐标为2,()A.(-3,1) B.(-3,-1)C.(3,-1) D.(3,1)【解析】选A.由公式x=ρcosθ=2cos5π6【补偿训练】在极坐标系中,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系,点M2,A.(2,1) B.(3,1) C.(1,3) D.(1,2)【解析】选B.根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得点M2,π62.设点P对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为()A.32,3C.3,54π 【解析】选A.因为点P对应的复数为-3+3i,则点P的直角坐标为(-3,3),点P到原点的距离r=32,且点P在第二象限的平分线上,故极角等于3π4,故点P的极坐标为3.若点M的极坐标为(5,θ),且tanθ=-43,π()A.(3,4) B.(4,3)C.(-4,3) D.(-3,4)【解析】选D.因为tanθ=-43,π2<θ<π.所以cosθ=-35【补偿训练】在极坐标系中,A(3,3π),B5,-π3 B.6 【解析】选C.由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,将点A(3,3π),BB52AB=-二、填空题(每小题6分,共12分)4.已知两点的极坐标A3,π2,B3,【解析】点A,B的直角坐标分别为(0,3),33故kAB=32-33故直线AB的倾斜角为5π答案:55.以极坐标系中的点2,π2【解析】设点C2,π2在直角坐标系中的坐标为(m,n),可得m=2cosπ2所以点C的直角坐标为(0,2),结合圆C的半径R=2,根据圆的标准方程,得圆C的方程为x2+(y-2)2=4.答案:x2+(y-2)2=4三、解答题(每小题10分,共30分)6.在极坐标系中,已知三点M2,-π3【解析】将极坐标M2,-π3,N(2,0),P23,方法一:因为kMN=kPN=3,所以M,N,P三点共线.方法二:因为MN→=NP所以MN→∥所以M,N,P三点共线.7.极坐标系中,已知O是极点,A6,7π6(1)求|AB|.(2)判断△AOB的形状.【解析】(1)由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ求得点A6,7π6,B3,3π2(2)由上述得,直线AB平行于x轴,∠OBA=π2,∠OAB=π所以△AOB是直角三角形,其中∠OAB=π68.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,AB,BC,CD,AD的中点分别为E,F,G,H,以菱形的中心为极点O与原点,OA的方向为极轴方向与x轴正方向,建立极坐标系与平面直角坐标系,如图,限定ρ≥0,θ∈[0,2π).(1)求点E,F,G,H的极坐标与直角坐标.(2)判断四边形EFGH的形状.【解析】(1)由于菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,所以OB=1,OA=3,菱形的顶点的直角坐标分别为A(3,0),B(0,1),C(-3,0),D(0,-1),所以菱形各边中点的直角坐标分别为E32,12,FH32E1,π6,F1,5π(2)由上述菱形各边中点的直角坐标,得EF→=HG→=(-3,0),故四边形EFGH为平行四边形,又GF→=(0,1),GF→·EF所以平行四边形EFGH为矩形.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2023·上饶高二检测)点M的直角坐标是(3,3),则点M的极坐标可能为()A.23,5π6C.23,-π6【解析】选B.ρ=x2+y2=23,tanθ=又θ的终边过点(3,3),所以θ=π6所以M232.(2023·大庆高二检测)已知定点P4,π3,将极点移至OA.4,2π3C.2,2π3 【解析】选C.设点P的新的极坐标为(ρ,θ),如图.则|OO′|=23,又|OP|=4,∠POO′=π3-π6=在△OPO′中,ρ2=(23)2+42-2×23×4×cosπ6故ρ=2,又sin∠OPO'23所以sin∠OPO′=sinπ62×23所以∠OPO′=π3,所以θ=π3+π3故点P的新的极坐标为2,二、填空题(每小题5分,共10分)3.将向量OM→=(-1,3)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为【解析】由于M(-1,3)的极坐标为2,2π3,绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为2答案:(-1,-3)4.在极坐标系中,O是极点,点A4,π6,B3【解题指南】求出点A,B的直角坐标,写出直线的方程,利用点到直线的距离公式求距离.【解析】点A,B的直角坐标分别为(23,2),-3则直线AB的方程为y-233即(4-33)x-(43+3)y+24=0,则点O到直线AB的距离为24(4-33)2答案:12三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2023·海口高二检测)在极坐标系中,若点A3,π3(1)求|AB|.(2)求△AOB的面积(O为极点).【解析】如图所示(1)∠AOB=7π6-π3所以|AB|2=32+(43)2-2×3×43cos5π所以|AB|=93.(2)S△AOB=12OA·OBsin∠AOB=12×3×43×126.已知点M的极坐标为4,π6,极点O【解题指南】以极点为原点,建立新的直角坐标系,建立点的新直角坐标与原直角坐标的关系求解.【解析】以极点O′为坐标原点,极轴方向为x′轴