高中数学人教A版第二章平面向量平面向量的线性运算 向量加法运算及其几何意义

2.2.1向量加法运算及其几何意义教学目标重点:通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.难点：对向量加法法则概念的理解、利用向量加法的几何意义解决平面几何问题．知识点：向量的加法、向量加法的三角形和平行四边形法则、向量加法运算律.能力点：能掌握向量加法运算及其几何意义；能利用向量运算解决一些简单的数学问题；通过经历向量加减法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，增强数学的应用意识，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．教育点：让学生亲身经历运用数学概念来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神．自主探究点：通过位移与力的合成，探究向量的加法法则，类比数的加法运算律探究发现向量加法运算律．考试点：向量加法运算及其几何意义，利用向量加法的几何意义解决一些简单数学问题．易错易混点：向量运算法则的正确选择和灵活应用；利用向量运算的几何意义解决平面几何问题．拓展点：利用向量解决平面几何问题和实际问题．教具准备多媒体课件、三角板课堂模式学案导学一、引入新课1.知识回顾：问题1：向量的定义及表示方法？问题2：平行向量、相等向量的概念？【师生活动】教师展示课件、提出问题，学生思考并回答问题．【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点，更为学生自主探究铺平道路．师：我们知道，数可以进行运算，有了运算而使数的威力无穷；那么，类比数的运算，向量是否也能进行运算？都有哪些运算呢？生：思考交流，提出猜想.【设计意图】恰当的点拨启发，使学生通过类比联想主动、快速的探索向量的运算.在开课之初就让学生明确本节课所要研究的内容，让学生带着问题去学习，引发学生探究新知识的欲望．2.导入新课思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.思路2.(问题导入)2023年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？由此导入新课.情境1：位移的合成【师生活动】教师展示课件，学生观看课件；师提出问题，生思考回答.上海上海香港台北师：在运动的过程中，飞机从最初的位置到达最终的位置都经历了几次位移？生：飞机从最初的位置到达最终的位置都经历了两次位移.师：如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果是什么？生：两次位移的作用效果都等于从起点到终点的一次位移.师：在物理上，我们就把从起点到终点的位移称作是两次位移的和．师：位移求和问题在作图时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？和位移的方向呢？生：第一次位移的终点是第二次位移的起点（师补充：从位置关系上看两次位移是首尾相连的），和位移是由第一次位移的起点指向第二次位移的终点.师：请位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，正是我们所研究的——向量．那么，位移的和就可以看作是两个向量的和；也就是说既有大小，又有方向的两个向量可以相加.【设计意图】求位移是学生在物理学习中经常遇到的问题,问题的提出可以激发学生的学习兴趣,同时体现向量的应用价值,通过学生所熟悉的位移和的求法,使学生初步意识到进一步明确本节课的探索目标，使得教学过程自然流畅.情境2：位移的合成【师生活动】教师出示课件、提出问题；学生思考、小组探究.师：除了位移的合成，我们还学习了哪些向量（矢量）相加的问题？生：思考回答——速度、加速度、力的合成问题.师：好，下面我们就再一次探究一下力的合成问题.（出示课件）力与力，有怎样的关系?生：思考回答，力产生的效果与力，共同作用产生的效果相同.师：你能做出两个力，的合力吗？请用语言叙述.生：思考交流，得出答案：力的合成符合平行四边形法则，合力在以，为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长.【设计意图】，【设计说明】由教师提问，学生分析讨论，层层深入地进入课题的探究，让学生在自主合作探究中理解重难点.二、探究新知探究1：向量加法的三角形法则【师生活动】师提出问题；生思考、小组探究、代表汇报.师：通过前面实例的探究，我们知道向量可以相加，受到位移求和的启发，能否找到向量求和的方法吗？展示问题：如图所示，类比位移的合成，作出两个非零向量与的和.生：通过思考、小组交流，得出小组成果.师：巡视课堂，关注学生的解答过程，及时解决学生解答过程中遇到的困难和出现的问题.师：（向量加法的三角形法则）．已知非零向量与，在平面内任取一点,作，,则向量叫做与的和，记作：.即：=+=.求两个向量和运算，叫作向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.生：.师：向量加法的三角形法则有哪些认识？留给你印象最深的是什么？生：思考交流后回答：两个向量要首尾相连，才能用三角形法则求和；和向量要由第一个向量的起点直线第二个向量的终点.师生共同总结要点：“首尾相接，首尾连”.【设计意图】通过动手操作让学生进行独立的探究学习，培养学生动手实践能力；动画演示使学生更直观的感知向量加法的三角形法则，加深印象，掌握向量的几何作图技能，规范作图.探究2：向量加法的平行四边形法则【师生活动】师：求作出向量与的和，你还有其他方法吗？生：通过思考、小组交流，得出小组成果，学生上台展示探究成果.师：动画演示(向量加法的平行四边形法则)．在平面内任取一点，作，，以，为邻边作，则以为起点的对角线就是与的和，记作：，=+=.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.向量加法的平行四边形法则有求和？生：两个向量要有“相同的起点”.师：向量加法的平行四边形法则和三角形法则有什么联系？本质上是一致的吗？生：思考回答.【设计意图】由向量加法平行四边形法则的图形探究思考三角形法则，可以很清楚地使学生从几何意义上认识到两个法则之间的密切联系，理解它们的实质，而且衔接自然，能够使学生对比地得出两个法则的特点与实质，并对两个法则的特点有较深刻的印象.探究3：向量加法运算律【师生活动】师：数的运算与运算律紧密联系，运算律可以有效化简运算，实数的加法运算满足交换律和结合律，类似的，向量的加法是否也有运算律，有哪些运算律呢？师：引导学生完成下列表格.实数的加法向量的加法运算律向量加法的交换律：向量加法的结合律：生：独立思考，完成表格.【设计意图】.【设计说明】要由向量加法的结合律使学生明白，三角形法则也适用于任意多个向量相加.理解新知1.引导学生完成下列表格：ABABCED加法平行四边形法则图形表示语言表述已知非零向量与，在平面内任取一点,作，,则=在平面内任取一点，作，，以，为邻边作，则=.特点首尾相接，首尾连相同起点【设计意图】利用表格直观记忆所学知识，加深认识与理解，为准确地运用新知作必要的铺垫．2.完成下列问题：（1）；（2）；（4）；（5）．【设计意图】巩固新知，加深对向量加、减法运算法则的理解；在训练向量加法三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则可以推广到个向量相加的形式．即：．四、运用新知例1如图，已知两个不共线的向量、，求作向量．师：你有几种方法解决例1的问题吗？生：分析求、的和向量的方法，并独立利用不同的方法进行解题，并由两名学生分别板书三角形法则和平行四边形法则.教：巡视课堂，关注学生的解答过程，进行个别指导.最后课件展示两种作图方法的详细步骤，学生校对答案，并反思总结．【设计意图】校对答案，题后反思，可以加深学生对知识的理解，构建自己的解题思维过程．解：方法一：在平面内任取一点,作，,.方法二：在平面内任取一点，作，，以，为邻边作，连接，则.【设计意图】直接应用，内化新知，提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本例让学生体会用两种方法作图的联系与区别，并注意应用三角形法则作图要求首尾相连，用平行四边形法则作图要求起点相同，使学生熟悉求两个向量和向量的基本步骤．思考1：若两个向量、共线，如何求向量．师：展示课件，提出问题.生：思考作图.（1）当、同向时，在平面内任取一点，作，，则；（2）当、反向时，同理可得：师：对于方向相同的两个向量相加，向量加法的三角形法则和平行四边形法则还适用吗？（引导学生从作图方法上进行分析）生：平行四边形法则不成立，三角形法则仍然适用.师：类比异号两数相加，通过向量加法的三角形法则得出方向相反的两个向量的和向量.师生总结：两个不共线的向量相加，可采用平行四边形法则或三角形法则；两个共线向量相加只能采用三角形法则，即：三角形法则适用于任意两个向量相加．师：对于零向量与任一向量，等于什么呢？生：思考，容易得出结论：.师：引导学生利用向量加法法则，从加法的几何意义说明结论的合理性.【设计意图】通过对共线向量加法的探讨，拓宽了学生对三角形法则的认识，使得不同位置的向量相加都有了依据；采用类比的方法，使学生对共线向量的加法，尤其是方向相反的两个向量的加法更容易，便于化解难点.思考2：结合图形观察分析，向量的模与、的模有怎样的关系？师：引导学生结合图形进行探究.生：思考、小组讨论，得出数学结论.（1）当与共线且同向时，；（2）当与共线且反向时，；（3）当与不共线时，.【设计意图】点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸点出发,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度大小（保留两位有效数字）与方向（用与江水速度间的夹角表示,精确到度）.分析：这是一个速度合成问题，把船的速度、水流速度看成两个向量，这两个向量的和就是小船的实际速度，且三个向量构成一个直角三角形，已知船的速度、水流速度，就可算出船实际航行的速度.【师生活动】活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.师：你能把这个实际问题抽象为向量问题吗？生：思考，正确理解题意，将实际问题反映成向量，并作图完成例题.师展示课件，师生共同校对答案.解：（1）表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的速度.（2）在中，，，所以.因为，所以.答：船实际航行速度的大小为，方向与水的流速间的夹角约为.【设计意图】点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.【设计意图】让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础；变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图12活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.证明:如图12,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,=+,=+.AC与BD互相平分,=,=,=,因此∥且||=||,即四边形ABCD是平行四边形.点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明=或=即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明与共线,且||≠||.五、课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.教师提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？（引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结）学生总结：1．知识点：向量加法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则；向量加法的运算律；相反向量；2．思想：归纳类比、数形结合、分类讨论等思想方法．教师展示课件并强调：1．向量加法的三角形法则要注意两个向量“首尾相连”；2．向量加法的平行四边形法则要注意两个向量“同起点”；【设计意图】让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识及数学思想方法的理解和应用意识；提高学生的概括、归纳能力.同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理；最后教师用课件展示小结内容并进行重点强调，使学生印象深刻.为了鼓励学生的个性发展，在课堂小结部分设置一个开放性问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．六、布置作业1．书面作业（课下投影）如图16所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.图16解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴=,=.于是a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=8.点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.必做题：3，4．2．课外思考思考1：是内一点，且，判断是的什么心？思考2：三人夺球游戏的规则：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面分别拉绳，要求每两人与球连接夹角相等，得到小球者为胜.现有甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，均为，则丙需要多少力量才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，小球有可能静止吗？[设计意图]通过适量的课后作业，复习巩固所学知识,并使．书面作业的布置，设置了两组练习，一组必做题，一组选做题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，又能得到符合自身实