高中数学苏教版第一章立体几何初步 第1章空间几何体的体积

第1章立体几何初步空间几何体的表面积和体积1.3.2空间几何体的体积A组基础巩固1.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) D．1解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC·D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD·DC·D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).答案：A2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()\f(560,3)\f(580,3)C．200D．240解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝eq\f(（2＋8）×4,2)＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.答案：C3．(2023·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V＝V三棱柱＋V长方体＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．答案：B4．已知直角三角形的两直角边长为a，b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为()A．a∶b B．b∶aC．a2∶b2 D．b2∶a2解析：以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝eq\f(1,3)πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到的圆锥体积V＝eq\f(1,3)πa2b.所以eq\f(1,3)πb2a∶eq\f(1,3)πa2b＝b∶a.答案：B5．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()\f(4,3)π \f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．32eq\r(3)π解析：由题意可知，6a2＝24，所以a设正方体外接球的半径为R，则eq\r(3)a＝2R，所以R＝eq\r(3)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.答案：C6．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A．1∶9 B．1∶27C．1∶3 D．1∶1解析：eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πreq\o\al(2,1),4πreq\o\al(2,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9).答案：A7．(2023·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4m，高为2m的圆锥，下部是一个底面直径为2m，高为4m的圆柱．故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)π·22×2＋π·12×4＝eq\f(20,3)π(m3)．答案：eq\f(20,3)π8.已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B1-ABC的体积为________解析：因为S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4)，B1到底面ABC的距离即为三棱锥的高等于3，所以VB1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)9．圆锥的母线长为l，高为eq\f(1,2)l，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．解析：易得圆锥底面半径为eq\f(\r(3),2)l，故轴截面的顶角为eq\f(2,3)π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为eq\f(π,2)的等腰直角三角形．答案：eq\f(1,2)l2B级能力提升10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)解析：这是一个正方体切掉两个eq\f(1,4)圆柱后得到的几何体，如图所示，几何体的高为2，V＝23－eq\f(1,4)×π·12×2×2＝8－π.答案：B11．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2解析：如图所示，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.答案：C12．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于对棱AB的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．解析：设棱台的高为h，上底面积为S，则下底面积为4S.所以V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，V柱A1B1C1-FEC＝Sh.所以eq\f(V柱A1B1C1FEC,V台－V柱A1B1C1FEC)＝eq\f(Sh,\f(7,3)Sh－Sh)＝eq\f(3,4).答案：3∶4或4∶313．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．解析：设圆的半径为R，则第一个圆锥底面周长为C1＝eq\f(2πR,3)，所以r1＝eq\f(R,3).同理，C2＝eq\f(4πR,3)，所以r2＝eq\f(2R,3).又母线为R，所以h1＝eq\f(2\r(2),3)R，h2＝eq\f(\r(5),3)R.所以V1＝eq\f(1,3)πr12h1＝eq\f(2\r(2),81)πR3，V2＝eq\f(1,3)πreq\o\al(2,2)h2＝eq\f(4\r(5),81)πR3.故V1∶V2＝1∶eq\r(10).答案：1∶eq\r(10)14.如图所示，在等腰三角形ABC中，E，F分别为两腰AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G分别为垂足，若将三角形ABC绕AD旋转一周所得的圆锥的体积为V，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比值．解：由题意画出图形，如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆柱的高为eq\f(h,2)，底面半径为eq\f(r,2).所以eq\f(V－V柱,V)＝1－eq\f(V柱,V)＝1－eq\f(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)·\f(h,2),\f(1,3)πr2h)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8).15.如图所示，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．解：设扇形半径为x，圆的半径为r，则扇形弧长等于圆的周长，即eq\f(1,4)×2x＝2r，所以x＝4r.又AC＝x＋r＋eq\r(2)r＝23eq\r(2)，所以r＝eq\f(23\r(2),5＋\r(2))＝5eq\r(