高中数学苏教版第1章集合交集并集 苏教版 交集并集 教案

考察集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7}．问题1：这两个集合有相同的元素吗？由它们的公共元素组成的集合是什么？提示：有相同元素3,4,5，它们组成的集合是{3,4,5}．问题2：集合M＝{x|x是等腰三角形}和集合N＝{x|x是直角三角形}的公共元素组成的集合是什么？提示：{x|x是等腰直角三角形}．问题3：集合C＝{x|x>3}与集合D＝{x|x<0}的公共元素组成的集合是什么？提示：没有公共元素，对应集合为∅.交集定义一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集．符号表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}Venn图表示如图中阴影部分表示：在知识点一所提到的集合中．问题1：由集合A与B的所有元素组成的集合P是什么？提示：P＝{1,2,3,4,5,6,7}．问题2：由集合M与N的所有元素组成的集合Q是什么？提示：Q＝{x|x是等腰三角形或直角三角形}．问题3：由集合C与D的所有元素组成的集合R是什么？提示：{x|x>3或x<0}．并集定义一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集符号表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}Venn图表示如图中阴影部分表示：设a，b∈R，且a<b名称定义符号数轴表示闭区间{x|a≤x≤b}[a，b]半开半闭区间{x|a≤x<b}[a，b){x|a<x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]开区间{x|a<x<b}(a，b){x|x>a}(a，＋∞){x|x<b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)1．并集的理解“A∪B”是所有属于A或属于B的元素并在一起构成的集合，所以要求“A∪B”：(1)只需把集合A、B的元素合在一起；(2)使A、B的公共元素在并集中只出现一次即可．2．交集的理解(1)A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；(2)A与B的所有公共元素都属于A∩B；(3)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.[例1](1)(江苏高考)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.(2)(浙江高考改编)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁RB)＝________.[思路点拨](1)利用集合的并集定义求解；(2)可以先按集合的补集定义求出∁RB，再求交集．[精解详析](1)因为A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，所以A∪B＝{1,2,4,6}；(2)因为B＝{x|－1≤x≤3}．所以∁RB＝{x|x<－1，或x>3}．作出数轴表示集合A和∁RB，如图所示．由图可知A∩∁RB＝{x|3<x<4}．[答案](1){1,2,4,6}(2){x|3<x<4}1．(四川高考改编)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝________.解析：根据题意，集合A＝{－2}，集合B＝{2，－2}，所以A∩B＝{－2}．答案：{－2}2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．解：如图，∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}．∴A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}.[例2](1)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．(2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围．[思路点拨](1)先由A∩B＝{9}知9∈A.再由2a－1＝9或a2＝9得a验证．(2)借助于数轴分析求解．[精解详析](1)∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意．(2)①若A＝∅，有A∩B＝∅，此时2a>a＋3，∴a>3.②若A≠∅，由A∩B＝∅，得如图：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1,a＋3≤5,2a≤a＋3))，解得－eq\f(1,2)≤a≤2.综上所述，a的取值范围是[－eq\f(1,a)，2]∪(3，＋∞)[一点通]解决这种题型应抓住解题的突破口．当用集合列举法表示有限集时，应将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程或方程组求解．但要注意分类讨论思想．当集合为描述法表示的不等式数集时，应利用好数轴这把工具，转化为不等式或不等式组求解，但当出现交集为空集的情形时，应首先讨论集合中有没有空集．这时，不等式的端点值往往是极佳的切入点．3．集合P＝{1,3，m}，Q＝{m2,1}，且P∪Q＝{1,3，m}，则实数m的值为________．解析：∵P∪Q＝{1,3，m}＝P.∴m2＝3或m2＝m.当m2＝3时，m＝±eq\r(3)这时P＝{1,3，eq\r(3)}或{1,3，－eq\r(3)}均符合题意．当m2＝m时，m＝0或1.若m＝0，则P＝{1,3,0}符合题意．若m＝1，则P＝{1,3,1}则与互异性矛盾．综上可知，实数m的值为0，±eq\r(3).答案：0，±eq\r(3)4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}且B≠∅，若A∪B＝A则m的取值范围是________．解析：∵B≠∅，∴m＋1<2m－1，即m>2.又∵A∪B＝A，∴B⊆A.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤7，,m＋1≥－2，))解得－3≤m≤4，综上得，2<m≤4.答案：(2,4]5．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0，m∈R}，当A∩B＝B时，求m的取值范围．解：由题知，B＝{x|x<－eq\f(m,4)，m∈R}，因为A∩B＝B，所以A⊇B，所以由数轴(如图)可得－eq\f(m,4)≤－2，所以m≥8，即m的取值范围是[8，＋∞).[例3]向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？[思路点拨]把赞成A和赞成B的人分成两个集合，利用集合的交、并运算解决．[精解详析]赞成A的人数为50×eq\f(3,5)＝30，赞成B的人数为30＋3＝33，如图．记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.设对A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为eq\f(x,3)＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋(eq\f(x,3)＋1)＝50，解得x＝21.所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．[一点通]集合命题中的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数问题，先对实际问题进行分析，抽象建立集合模型，转化为集合问题，运用集合知识进行求解，然后将数学问题翻译成实际问题的解进行检验，从而使问题得以解决，其中用Venn图进行分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷、准确地获解．6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：将文字语言翻译成数学语言，借助于Venn图解决问题．设两项运动都喜爱的人数为x人．画出Venn图(如右图)，得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30，解得x＝3.即喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：127．在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？解：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，同时参加田赛和球类比赛的人数为x，根据题意画出Venn图，如图所示．由题意得9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.即同时参加田赛和球类比赛的共有3人，只参加径赛的人为9人．1．交集的相关性质(1)A∩A＝A，即一个集合与其本身的交集是其本身．(2)A∩∅＝∅，即一个集合与空集的交集是空集．(3)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B＝B⇔B⊆A.2．并集的相关性质(1)A∪A＝A，即一个集合与其本身的并集是其本身．(2)A∪∅＝A，即一个集合与空集的并集是其本身．(3)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律(由并集的定义可得)．(4)A⊆A∪B，B⊆A∪B，即一个集合是其与任一集合并集的子集．(5)A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.(6)A∩B⊆(A∪B)．课时达标训练（四）一、填空题1．(江苏高考)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.解析：由题意得A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}．2．(浙江高考改编)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝________.解析：根据集合的交集的定义，结合数轴可得：S∩T＝{x|－2<x≤1}．答案：{x|－2<x≤1}3．(新课标卷Ⅰ改编)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝________.解析：因为A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，所以B＝{1,4,9,16}，则A∩B＝{1,4}．答案：{1,4}4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x>4}，那么集合A∩(∁UB)等于________．解析：由题意可得，∁UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}．答案：{x|－1≤x≤3}5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是________．解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－eq\f(k,2)}，且M∩N≠∅，所以－eq\f(k,2)≥－3⇒k≤6.答案：(－∞，6]6．(山东高考改编)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB＝________.解析：由U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩∁UB＝{3}．答案：{3}二、解答题7．已知x∈R，集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3,2x－1，x2＋1}，如果A∩B＝{－3}，求A∪B.解：∵A∩B＝{－3}，∴x－3＝－3或2x－1＝－3或x2＋1＝－3.①x－3＝－3时，x＝0.这时A＝{－3,0,1}，B＝{－3，－1,1}，∴A∩B＝{－3,1}，与题意不符合．②当2x－1＝－3时，x＝－1.这时A＝{－3,1,0}，B＝{－4，－3,2}，与题意相符，且A∪B＝{0,1,2，－3，－4}．③当x2＋1＝－3时无解．故A∪B＝{0,1,2，－3，－4}．8．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{eq\f(1,2)}，求A∪B.解：∵A∩B＝{eq\f(1,2)}，∴eq\f(1,2)∈A且eq\f(1,2)∈B，∴eq\f(1,2)是方程2x2－px＋q＝0与6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0的根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)p＋q＝0，,\f(3,2)＋p＋2×\f(1,2)＋5＋q＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝－4，,p＝－7.))∴A＝{－4，eq\f(1,2)}，B＝{eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}．∴A∪B＝{－4，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}．9．设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求a，b，c的值．解：因为A∩B＝{－3}，所以－3∈A，且－3∈B，将x＝－3代入方程x2＋ax－12＝0中，得a＝－1，从而A＝{－3，4}．又A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，A≠B，所以B＝{－3}．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋－3＝－b，,－3×－3＝c，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝9.))故a＝－1，b＝6，c＝9.一、集合的含义与表示集合的含义一般地，把研究的确定对象称为元素，把一些元素的总体称作集合元素的特征①确定性；②互异性；③无序性元素与集合若a属于集合A记作a∈A；若a不属于集合A，记作a∉A.特殊的数集自然数集—N