高中数学人教A版第二章平面向量单元测试 公开课

平面向量复习教案一、知识归纳1.知识结构2.重要公式、定理①.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.②.向量共线的两种判定方法：∥()③.a=(x,y)|a|2=x2+y2|a|=④.若A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，则=⑤.cos=⑥.aba•b=0即x1x2+y1y2=0（注意与向量共线的坐标表示）二、基础练习：题型一：基本概念：1.下列六个命题中正确的是：①两个向量相等，则他们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则是平行四边形；④平行四边形中，一定有；⑤若则；⑥若则2.已知点，向量向右平移1个单位，向上平移2个单位后，所得的向量的坐标是（）(A)(1,-7)(B)(2,-5)(C)(0,4)(D)(3,-3)3.如果，是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的是①可以表示平面内地所有向量;②对于平面内地任一向量，使的实数有无数对；③若向量与共线，则有且只有一个实数，使；④若实数使，则.题型二：线性运算：1.已知且试求点和的坐标.题型三：平行与垂直1.已知在所在平面内，且，，且，则点依次是的（）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心2.平面内给定三个向量.（1）求满足的实数;（2）求实数;（3）设满足且求.题型四：夹角与长度1.设求的值.求实数的值及与的夹角ABCABCacab例1.如图△ABC中，=c，=a，=b，则下列推导不正确的是……………（）A．若a•b<0，则△ABC为钝角三角形。B．若a•b=0，则△ABC为直角三角形。C．若a•b=bc，则△ABC为等腰三角形。D．若c•(a+b+c)=0，则△ABC为正三角形。解：A．a•b=|a||b|cos<0，则cos<0，为钝角B．显然成立C．由题设：|a|cosC=|c|cosA，即a、c在b上的投影相等D．∵a+b+c=0,∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形例2.设非零向量a、b、c、d，满足d=(a•c)b(a•b)c，求证：ad证：内积a•c与a•b均为实数，∴a•d=a•[(a•c)b(a•b)c]=a•[(a•c)b]a•[(a•b)c]=(a•b)(a•c)(a•c)(a•b)=0∴ad例3.已知|a|=3，b=(1,2)，且a∥b，求a的坐标。解：设a=(x,y)∵|a|=3∴…①又：∵a∥b∴1•y2•x=0…②解之：或即：a=()或a=()例4.已知a、b都是非零向量，a+3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，求a与解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16a•b15b(a4b)(7a2b)=07a230a•b+8b两式相减：2ab=b2；代入①或②得：a2=b设a、b的夹角为，则cos=∴=60例5.已知：|a|=，|b|=3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。解：由题设：a•b=|a||b|cos=3××=3(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+(2+1)a•b=32+11+3∵夹角为锐角∴必得32+11+3>0；∴或例、b为非零向量，当a+tb(tR)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a+tb垂直解：①|a+tb|2=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|∴当t=时,|a+tb|最小②∵b•(a+tb)=a•b=0∴b与a+tb垂直例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。ABCEFDG证：设=b，=a，则=+=b+aABCEFDG∵A,G,D共线，B,G,E共线∴可设=λ，=μ,则=λ=λ(b+a)=λb+λa,=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵即：b+(μb+μa)=λb+λa∴(μλ)a+(μλ+)b=0∵a,b不平行，∴=例8.设=(a+5b)，=2a+8b，=3(ab)，求证：A,B,D三点共线。证：=++=(a+5b)+(2a+8b)+3(ab)=(1+)a+(5+5)b=(1+)(a+5b)而=(a+5b)；∴=(+1)；又∵,有公共点∴A,B,D三点共线例9.已知：A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，①求证：A，B，C三点不共线②以、为一组基底来表示++解：①∵=(1,3),=(2,4)∵1×43×20∴∴A，B，C三点不共线②++=(3,5)+(4,2)+(5,1)=(12,8)设：++=m+n即：(12,8)=(m+2n,3m+4n)∴∴++=3222例10.求证：|a+b|≤|a|+|b|证：|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a•b=|a|2+|b|2+2|a||b|cos≤|a|2+|b|2+2|a||b|=(|a|+|b|)2即：|a+b|≤|a|+|b|例11.设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果|F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为.求①.F3的大小；②.∠F3OF2的大小.解：①F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3=-（F1+F2）.∴|F3|=|F1+F2|=②如图：以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系.将向量F1、F3正交分解，设∠F3OM=，由受力平衡知解之得；，于是：∠F3OF2四、梳理总结：1.两个向量共线已知2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个，那么对该平面内的任一向量，3.平面向量的数量积：已知非零向量（1）其中为的夹角