高中数学北师大版2第一章统计案例 综合测试

第一章综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系②相关关系是一种非确定性关系③回归关系是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④[答案]C[解析]本题考查函数关系、相关关系、回归关系和回归分析，可以判断①②④正确．2．为了研究人的肥胖程度(胖、瘦)与家庭富裕水平(贫、富)之间是否相关，调查了50000人，其中胖人5000人，下列独立性检验的方案中，较为合理有效的方案是()A．随机抽取100名胖人和100名瘦人B．随机抽取%的胖人和瘦人C．随机抽取900名瘦人和100名胖人D．随机抽取%的瘦人和1%的胖人[答案]C[解析]样本的合理程度直接影响独立性检验的结果，所以选取样本要合理，易知总体中有5000名胖人，45000名瘦人，抽取样本时应按比例抽取．3．(2023·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x、y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－－.其中一定不正确的结论的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]D[解析]y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，x的系数eq\o(b,\s\up6(^))>0(或eq\o(b,\s\up6(^))<0)，故①④错．4．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()[答案]A[解析]题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A．5．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过()A．(2,2)点 B．,0)点C．(1,2)点 D．,4)点[答案]D[解析]计算得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝4，由于回归直线一定过(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))点，所以必过,4)点．6．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()p(K2>kkp(K2>kkA．25% B．75%C．% D．%[答案]D[解析]查表可得K2>.因此有%的把握认为“x和y有关系”．7．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合最好的模型是()A．模型1的相关系数r为B．模型2的相关系数r为C．模型3的相关系数r为D．模型4的相关系数r为[答案]A[解析]相关系数r越大，模型拟合的效果越好．8．以下关于线性回归的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A、B、C点；③已知直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－，则x＝25时，y的估计值为；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))得到的直线eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋eq\o(a,\s\up6(^))才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－，得eq\o(y,\s\up6(^))＝，∴③正确；④正确，故选D．9．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，若某城市居民人均消费水平为(千元)，估计该城市人均消费额占人均收入的百分比约为()A．83% B．72%C．67% D．66%[答案]A[解析]当eq\o(y,\s\up6(^))＝时，x＝eq\f－,≈，所以eq\f,≈，故选A．10．(2023·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女合计爱好402060不爱好203050总计6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈.附表：P(K2≥k)k参照附表，得到的正确的结论是()A．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[答案]C二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富；②曲线上的点与该点的坐标；③苹果的产量与气候；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度；⑤学生与其学号；⑥降雪量与交通事故发生率；⑦每亩施肥量与粮食亩产量．其中，具有相关关系的是__________________.[答案]①③④⑥⑦[解析]函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系；函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．12．对于线性回归方程y＝＋257，当x＝28时，y的估计值是__________________.[答案]390[解析]将x的值代入线性回归方程得估计值y＝×28＋257＝390.13．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视6842110少看电视203858总计8880168则在犯错误的概率不超过__________________的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系．[答案][解析]可计算χ2的观测值k＝>.14．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1杯数24343864由表中数据算得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为__________________杯．(已知回归系数b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)))[答案]70[解析]根据表格中的数据可求得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(18＋13＋10－1)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝40－(－2)×10＝60，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，当x＝－5时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－2×(－5)＋60＝70.15．在2023年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x91011销售量y1110865通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为__________________.[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋40[解析]eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝392，eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝8，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝，代入公式，得eq\o(b,\s\up6(^))＝－，所以，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝40，故回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋40.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是eq\f(1,2)，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有一人面试合格的概率；(2)没有人签约的概率．[答案](1)eq\f(7,8)(2)eq\f(3,8)[解析]用A、B、C表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意知A、B、C相互独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2).(1)至少有一人面试合格的概率是1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－(eq\f(1,2))3＝eq\f(7,8).(2)没有人签约的概率为P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝(eq\f(1,2))3＋(eq\f(1,2))3＋(eq\f(1,2))3＝eq\f(3,8).17．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：产量x(千件)生产费用(千元)40150421404816055170651507916288185100165120190140185(1)计算x与y的相关系数；(2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验；(3)设回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，求回归系数．[答案](1)(2)有线性相关关系(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＝[解析](1)根据数据可得：eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝70903，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝277119，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi＝132938，所以r＝，即x与y之间的相关系数r≈；(2)因为r>，所以可认为x与y之间具有线性相关关系；(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝.18．(本题满分12分)(2023·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)k0[答案](1)90位(2)(3)有把握[解析](1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×＋＝，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为.(3)由(2)知，300位学生中有300×＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300综合列联表可算得χ2＝eq\f(300×45×60－165×302,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈>.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．”19．(本题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：播放天数12345678910点击观看的累计人次51134213235262294330378457533(1)画出散点图；(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？(3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？[答案](1)图略(2)有线性相关关系，求线性回归方程有意义(3)eq\o(y,\s\up6(^))＝＋(4)547[解析](1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：i12345678910xi12345678910yi51134213235262294330378457533xiyi51268639940131017642310302441135330eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝385，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝1020953，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝19749利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(19749－10××,\r(385－10××\r(1020953－10×)≈.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，自然求线性回归方程有实际意义．(3)b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(19749－10××,385－10×≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－×≈，因此所求的线性回归方程是y＝＋.(4)当x＝11时，y的估计值是×11＋≈547.20．(本题满分13分)(2023·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2≥k)k[答案](1)表略不相关(2)eq\f(7,10)[解析](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈.因为<，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)