高中数学人教A版2第一章导数及其应用【区一等奖】

第一章1.2.1、2(一)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝eq\f(1,\r(x))，则y′＝－eq\f(\r(x),2)C．若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(1,2\r(x)) D．若y＝x，则y′＝1解析：对于A，常数的导数为零，故A正确；对于B，y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2\r(x3))，故B错误；对于C，y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2\r(x))，故C正确；对于D，y′＝x′＝1，故D正确．答案：B2．过曲线y＝eq\r(x)上的点(4,2)的切线方程是()A．x＋4y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．x－4y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0解析：∵y′＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴y′|x＝4＝eq\f(1,2\r(4))＝eq\f(1,4)，∴切线的斜率k＝eq\f(1,4)，∴所求的切线方程为y－2＝eq\f(1,4)(x－4)，即x－4y＋4＝0.故选C.答案：C3．已知f(x)＝xn，若f′(－1)＝－4，则n的值为()A．4 B．－4C．5 D．－5解析：f′(x)＝nxn－1，f′(－1)＝n×(－1)n－1＝－4，∴n＝4.答案：A4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S＝eq\f(1,2)×1×e2＝eq\f(e2,2).答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为__________.解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3).答案：1或－eq\f(1,3)6．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,xlna)，∴f′(1)＝eq\f(1,lna)＝－1.∴lna＝－1.∴a＝eq\f(1,e).答案：eq\f(1,e)三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数．(1)y＝lg5；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝eq\f(x2,\r(x))；(4)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解析：(1)y′＝(lg5)′＝0.(2)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2).(3)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝x2－eq\f(1,2)＝xeq\f(3,2)，∴y′＝(xeq\f(3,2))′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2).(4)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.8．已知曲线y＝eq\r(x).求：(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y＝eq\r(x)，得y′|x＝x0＝eq\f(1,2\r(x0)).∵切线与y＝2x－4平行，∴eq\f(1,2\r(x0))＝2，∴x0＝eq\f(1,16)，∴y0＝eq\f(1,4).则所求切线方程为y－eq\f(1,4)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,16)))，即16x－8y＋1＝0.(2)∵点P(0,1)不在曲线y＝eq\r(x)上，故需设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为eq\f(1,2\r(t)).又∵切线斜率为eq\f(u－1,t)，∴eq\f(1,2\r(t))＝eq\f(u－1,t)＝eq\f(\r(t)－1,t)，∴2t－2eq\r(t)＝t，得t＝4或t＝0(舍去)，∴切点为M(4,2)，斜率为eq\f(1,4)，∴切线方程为y－2＝eq\f(1,4)(x－4)，即x－4y＋4＝0.eq\x(尖子生题库) ☆☆☆9．(10分)点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解析：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距