高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 同课异构2

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2023·徐州高二检测)双曲线eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是________．【解析】据题意知|PF1－PF2|＝|PF1－10|＝8，∴PF1＝18或2.【答案】18或22．双曲线eq\f(x2,m2＋12)－eq\f(y2,4－m2)＝1的焦距是________．【解析】由题意，得c＝eq\r(m2＋12＋4－m2)＝4，∴焦距为2c＝8.【答案】83．已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,25)＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.【解析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝eq\f(1,2)|PF′|.又|FN|＝eq\r(|OF|2－|ON|2)＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－eq\f(1,2)|PF′|＝eq\f(1,2)(|PF|－|PF′|)－|FN|＝eq\f(1,2)×8－5＝－1.【答案】－14．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P(－3,2)的双曲线的标准方程是________．【解析】由题意，焦点在y轴上，且c＝2，可设双曲线方程为eq\f(y2,m)－eq\f(x2,4－m)＝1(0<m<4)，将P(－3,2)代入，解得m＝1.因此所求双曲线标准方程为y2－eq\f(x2,3)＝1.【答案】y2－eq\f(x2,3)＝15．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________．【解析】不妨设P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2eq\r(2))2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)，又因为|PF1－PF2|＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则(PF1＋PF2)2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)6．已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________.【导学号：09390032】【解析】由于双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦点为F(5,0)，将xM＝5代入双曲线可得|yM|＝eq\f(16,3)，即双曲线上一点M到右焦点的距离为eq\f(16,3)，故利用双曲线的定义可求得点M到左焦点的距离为2a＋|yM|＝6＋eq\f(16,3)＝eq\f(34,3).【答案】eq\f(34,3)7．(2023·江西九江模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若OM＝1，则PF1的值为________．【解析】因为M是PF1的中点，所以PF2＝2OM＝2，又由双曲线的定义知：PF1－PF2＝2a＝8，所以PF1＝10.【答案】108．(2023·云南玉溪模拟)若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.【导学号：09390033】【解析】解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－9＝0，,x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3.))∵圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A(0，－3)，B(0,3)，且a＝3,2c＝18，∴b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,2)))2－32＝72，∴双曲线方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,72)＝1.【答案】eq\f(y2,9)－eq\f(x2,72)＝1二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．【解】(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋0＝1，,36m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝－\f(1,3)，))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1.10．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．【解】双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，可知a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.由双曲线的定义，得|PF2－PF1|＝2a＝6，将此式两边平方，得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝36，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(100－100,2PF1·PF2)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×32＝16.能力提升]1．设F1，F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积为________．【解析】由题意知PF1－PF2＝2a＝2，∴eq\f(4,3)PF2－PF2＝2，∴PF2＝6，PF1＝8.又F1F2＝10，∴△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×8＝24.【答案】242．设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_____．【解析】对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又离心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(5,13)，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，∴c2＝5.又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝eq\r(c\o\al(2,2)－a\o\al(2,2))＝3，又焦点在x轴上，故曲线C2的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.【答案】eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝13．已知双曲线的两个焦点F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，P是双曲线上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程为________．【解析】由题意可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝(2c)2，即PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝20.根据双曲线定义，有PF1－PF2＝±2a.两边平方并代入PF1·PF2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2故双曲线的标准方程是eq\f(x2,4)－y2＝1.【答案】eq\f(x2,4)－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图2­3­1所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100km，PB＝150km，BC＝60km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．图2­3­1【解】矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50(定值)，∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵a＝25