高中数学北师大版第二章函数二次函数性质的再研究 第2章

第二章§4A级基础巩固1．若函数y＝(3－t)xt2－3t＋2＋tx＋1是关于x的二次函数，则t的值为eq\x(导学号00814352)(B)A．3 B．0C．0或3 D．1或2[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－3t＋2＝2,3－t≠0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝0或3,t≠3))所以t＝0，故选B．2．抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是eq\x(导学号00814353)(D)A．(2，－2) B．(1，－2)C．(1，－3) D．(－1，－3)[解析]因为y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以抛物线的顶点坐标为(－1，－3)．3．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是eq\x(导学号00814354)(A)A．y＝－x2－4x－1 B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1 D．y＝－x2－4x＋1[解析]设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a(－3＋2)2＋3，即a＝－1.所以y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.4．将函数y＝x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为eq\x(导学号00814355)(A)A．y＝2x2 B．y＝4x2C．y＝eq\f(1,2)x2 D．y＝eq\f(1,4)x2[解析]由图像变换可知选A．5．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为eq\x(导学号00814356)(D)A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2[解析]将y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y＝2(x＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2(x＋2)2的图像，故选D．6．已知f(x)＝2(x－1)2和g(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2，h(x)＝(x－1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔eq\x(导学号00814357)(A)A．g(x) B．f(x)C．h(x) D．不确定[解析]因二次函数y＝a(x－h)2＋k的|a|越小，则二次函数开口越开阔．7．二次函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)的图像的顶点坐标为_(1,1)\x(导学号00814358)[解析]f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x2－2x＋3)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是_f(x)＝－x2＋2x＋\x(导学号00814359)[解析]设函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，将点(1,4)代入，得a＝－1.则f(x)＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式.eq\x(导学号00814360)[解析]解法1：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－3，,4a＋2b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－6，,c＝0.))∴函数的解析式为y＝3x2－6x.解法2：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝1，,\f(4ac－b2,4a)＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－6，,c＝0.))∴函数的解析式为y＝3x2－6x.解法3：设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，则顶点坐标为(－h，k)，已知顶点为(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3，即所求的二次函数y＝a(x－1)2－3.又∵图像经过点P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3，∴函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.解法4：设解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标，已知抛物线与x轴的一个交点P(2,0)，对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0)，∴x1＝0，x2＝2，∴所求的解析式为y＝a(x－0)(x－2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3，∴所求函数的解析式为y＝3x2－6x.10．已知二次函数满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2eq\r(2)，求f(x)的表达式.eq\x(导学号00814361)[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x－2)＝f(－x－2)得对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－2，∴b＝4a∵图像在y轴上的截距为1，∴c＝1，又|x1－x2|＝eq\f(\r(b2－4ac),|a|)＝2eq\r(2)，∴b＝2或b＝0(舍去)，a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋1.B级素养提升1．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于eq\x(导学号00814362)(B)A．eq\f(c,a) B．－eq\f(c,a)C．±eq\f(c,a) D．以上都不对[解析]∵f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f(0)＝c>0，a<0，设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1·x2＝eq\f(c,a)，∴|OA|＝－x1，|OB|＝x2，∴|OA|·|OB|＝－eq\f(c,a).故正确答案为B．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的eq\x(导学号00814363)(A)[解析]因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，只有A正确．3．把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y＝x2－2x＋1，则b＝_－6__，c＝\x(导学号00814364)[解析]由题意知y＝x2＋bx＋c的图像可由y＝x2－2x＋1＝(x－1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y＝x2＋bx＋c＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6.所以b＝－6，c＝6.4．如图抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A，B两点，且OA＝3OB，则m的值为\x(导学号00814365)[解析]设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＝－3x2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2m＋2，,x1x2＝－m－3，,x1＝－3x2，))得3m2＋5m＝0，即m＝0或m＝－eq\f(5,3).由图象知，对称轴x＝m＋1>0，即m>－1，因此m＝－eq\f(5,3)，不合题意，故m＝0.5．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式.eq\x(导学号00814366)[解析]由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,a－b＋c＝5，,c＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2，,c＝0.))∴g(x)＝3x2－2x.6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，试判断点(eq\f(a＋b,b2－4ac)，eq\f(ac,b))所在的象限.eq\x(导学号00814367)[解析]由抛物线开口向上知a>0，∵抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴负半轴，∴c<0.又∵对称轴x＝－eq\f(b,2a)在y轴左边，∴－eq\f(b,2a)<0.∴eq\f(b,a)>0.∴a，b同号．∵a>0，∴b>0.又∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0.∴eq\f(a＋b,b2－4ac)>0，eq\f(ac,b)<0.∴点(eq\f(a＋b,b2－4ac)，eq\f(ac,b))在第四象限．C级能力拔高已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0)且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\f(26,9)，试问该抛物线由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到？eq\x(导学号00814368)[解析]由题意可设所求抛物线的解析式为y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k，由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(