高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试 获奖作品

选修2-2第二章选择题1．(2023·郑州市高二检测)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为eq\x(导学号10510619)()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案]B[解析]因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加的项为eq\x(导学号10510620)()A．(2k)2 B．(2k＋3)2C．(2k＋2)2 D．(2k＋1)2[答案]D[解析]用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)的过程中，第二步，假设n＝k时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)，那么，当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2，等式左边增加的项是(2k＋1)2，故选D.3．对于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，则n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法eq\x(导学号10510622)()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]D[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.4．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是eq\x(导学号10510623)()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案]C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为eq\x(导学号10510624)()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案]C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.6．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝eq\x(导学号10510625)()A．26 B．27C．28 D．29[答案]D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题7．用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除”，第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成\x(导学号10510626)[答案]2x2k－y2k能被x＋y整除[解析]因为n为正偶数，故第一步取n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．8．(2023·九江高二检测)观察下列等式，照此规律，第n个等式为\x(导学号10510627)1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…[答案]n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]将原等式变形如下：1＝1＝122＋3＋4＝9＝323＋4＋5＋6＋7＝25＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72…由图知，第n个等式的左边有2n－1项，第一个数是n，是2n－1个连续整数的和，则最后一个数为n＋(2n－1)－1＝3n－2，右边是左边项数2n－1的平方，故有n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.9．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则n＝k＋1时，左端在n＝k时加上\x(导学号10510628)[答案](k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2[解析]n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答题10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).eq\x(导学号10510629)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．[解析]由已知得2bn＝an＋an＋1，aeq\o\al(2,n＋1)＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，可得结论成立．②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，bk＋1＝eq\f(a\o\al(2,k＋1),bk)＝eq\f(k＋12k＋22,k＋12)＝(k＋2)2.∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．一、选择题1．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想eq\x(导学号10510630)()A．n≥1时，2n>n2 B．n≥3时，2n>n2C．n≥4时，2n>n2 D．n≥5时，2n>n2[答案]D[解析]当n＝1时，21>12，即2n>n2；当n＝2时，22＝22，即2n＝n2；当n＝3时，23<32，即2n<n2；当n＝4时，24＝42，即2n＝n2；当n＝5时，25>52，即2n>n2；当n＝6时，26>62，即2n>n2；…猜想当n≥5时，2n>n2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当n＝5时，由以上可知猜想成立，(2)设n＝k(k≥5)时，命题成立，即2k>k2，当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>2k2＝k2＋k2>k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2，即n＝k＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n≥5时，2n>n2；故当n＝2或4时，2n＝n2；n＝3时，2n<n2；n＝1及n取大于4的正整数时，都有2n>n2.故选D.2．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开eq\x(导学号10510631)()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空题3．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为\x(导学号10510632)[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．4．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝\x(导学号10510633)[答案]5[解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.三、解答题5．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点.eq\x(导学号10510634)求证：这n条直线将它们所在的平面分成eq\f(n2＋n＋2,2)个区域．[证明](1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)＋k＋1＝eq\f(k＋12＋k＋1＋2,2)块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．6．(1)用数学归纳法证明：eq\x(导学号10510635)12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)．(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[解析](1)①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×eq\f(1×1＋1,2)＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2).则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k＋1－\f(k,2)))＝(－1)k·eq\f(k＋1[k＋1＋1],2).∴当n＝k＋1时，等式也成立，根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．(2)①n＝1时