高中数学人教A版第二章平面向量平面向量的线性运算 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘的运算及其几何意义一、教学目标重点：.难点：共线向量定理的应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；共线向量定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件,能够运用判定点共线或直线平行.教育点：通过探究,体会类比迁移、归纳转化的思想方法,经历从特殊到一般的思维过程.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练(应用)点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行,进而判定点共线或直线平行.考试点：向量的数乘运算及几何意义,运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备尺规、多媒体等课堂模式学案导学二、引入新课1.复习向量的加法、减法,采用提问的形式.问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后,教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则(首尾相连)和平行四边形法则(共起点).向量的减法：,则.(共起点,连终点,方向指向被减数).2.问题情境：一条细绳东西方向摆放,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为,那么它在同一方向上秒钟的位移对应的向量怎样表示？是吗？若蚂蚁向西秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是吗?你能用图形表示吗？学生活动：独立思考.教师活动：提问、引导学生作答.【设计意图】问题1复习所学知识；向量具有丰富的实际背景和几何背景,并且兼具“数”与“形”的特点,因此通过问题2的位移这一实际背景引入新课.三、探究新知探究1：已知非零向量,试作出和,你能说明它的几何意义吗？问题1：相加后,和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？ 学生活动：独立观察、思考、总结.教师活动：提问、引导学生.【设计意图】认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手,即通过学生自己作出向量和,以及独立观察、思考,让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识,进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识做好铺垫.1.向量数乘的定义一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作：,它的长度和方向规定如下：(1)(2)当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反.由(1)可知,当或时,【设计意图】通过引出向量的数乘的定义,让学生体会从特殊到一般的思想方法.探究2：问题4：已知向量、,求作向量和,并进行比较.2.向量数乘的运算律类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：设、为任意向量,、为任意实数,则有：结合律：第一分配律：第二分配律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？【设计意图】类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律,向量具有明显的几何背景,所以向量的运算及运算律也具有明显的几何意义,尤其是涉及到长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.这样了解向量数乘运算律的几何意义就有必要了.注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.探究3：问题6：引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？师生活动：(分析总结)对于向量、,如果有一个实数,使,那么由向量数乘的定义知与共线,且向量是向量模的倍,而的正负由向量、的方向所决定.反过来,已知向量与共线,,且向量的长度是向量的长度的倍,即,那么当与同方向时,有；当与反方向时,有.3.共线向量定理共线向量定理：向量、共线,当且仅当有一个实数,使得.问题7:1)为什么要是非零向量?2)可以是零向量吗?3)怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？学生活动：合作交流,独立作答.教师活动：提问、引导、及时评价.【设计意图】师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反,在向量的前提下,向量、共线,当且仅当有一个实数,使得；且实数的唯一性是由向量和的模和方向同时决定.通过学生合作交流,促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答,提高学生分析问题、解决问题的能力.四、理解新知1．是一个向量,也有长度和方向,其长度为,其方向与的符号有关,当λ>0时,的方向与的方向相同；当λ<0时,的方向与的方向相反.当时,2．向量数乘的几何意义就是将表示向量的有向线段伸长或压缩：当时,表示的有向线段在原方向()或反方向()上伸长为原来的倍；当时,表示的有向线段在原方向()或反方向()上缩小为原来的倍.3．与非零向量共线的单位向量为；4.准确理解向量共线定理：(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数,使(),则向量、共线；反之,若向量、共线,则必存在一个实数,使得；(2)定理中限定的原因是：若,虽然与共线,但不存在实数,使；若,可以是任意实数；(3)若向量、不共线,且,则必有五、运用新知例1计算(口答)(1) (2)(3)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=练习:教材第5题【设计意图】通过例题及练习要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.CAoBCAoACAoOCAo例2已知任意两非零向量、,试作CAoBCAoACAoOCAo解：作图如右(过程略)依图观察,知三点共线.证明如下： ∵又∴,又与有公共点,∴三点共线.【设计意图】利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先让学生作图,通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线,本题主要引导学生理清思路,具体过程可由学生完成变式练习:1.如图,已知、,试判断与是否共线?CEABD解：∵CEABD又∴与共线.评析：证明向量共线,可以直接运用定理.2.如上图,若的三等分点,利用向量关系来证明证明：∵∴∥∵不重合,∴【设计意图】通过变式训练了解共线向量定理的应用二：判断三点共线以及应用三：判断直线平行例3如图,的两条对角线相交于点,且,你能用表示吗？解：在中,∵,又∵平行四边形的对角线互相平分,【设计意图】综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.尤其是应当注意到,从而可简化解题过程,并且在实际的解题中做到举一反三,融会贯通；通过例3的教学使学生明确：有了向量的线性运算,平面中的点、线段(直线)就可以得到向量表示,这是利用向量解决几何问题的重要步骤.练习：已知的两条对角线相交于点,且,用向量分别表示向量六、课堂小结一、①的定义及运算律；②共线向量定理,向量与共线.二、定理的应用：(1)证明向量共线；(2)证明三点共线：三点共线；(3)证明两直线平行.三、思想方法特殊到一般,归纳,猜想,类比,分类讨论,等价转化等数学思想.【设计意图】让学生进一步巩固所学知识,并提高一个层次认识所学知识,与前面的学习目标呼应,再次明确学习目标．七、布置作业必做题:选做题:课后拓展：在中,点是的中点,点在线段上,且,求证三点共线.八、教后反思向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算.首先复习了向量的加法、减法及几何意义,然后借助一个有趣的例子,引入主题.本节课通过探究及数个问题的设置,层层深入,脉络清晰,将学生置于问题情境中,激发学生的学习兴趣.在“运用新知”环节中,给出的例题较多,可以根据教学实情进行选择.本节重点内容突出,重要的是让学生经历知识产生与发展的过程,如何合理的分配探究及设置的问题与知识应用之间的时间是顺利完成教学任务的关键.九、板书设计2.2.3向量数乘的运算及其几何意义1．向量数乘的定义；2．数乘向量的运算律；3.共线向量定理；例题讲解例1例2、变式一变式二