高中数学人教B版第二章平面解析几何初步 第二章基本知能检测

第二章基本知能检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若直线x＝1的倾斜角为α，则α等于()A．0°B．45°C．90°D．180°答案：C解析：直线垂直于x轴，根据定义，α＝90°.2．圆x2＋y2－18＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．相交D．内含答案：D解析：由圆心距到半径之间的关系即可判断．3．直线x＋ay－6＝0和直线(a－4)x－3y＋2a＝0平行，则a的值是()A．1B．－1C．1或3D．－1或3答案：A解析：当a＝0时，两直线方程分别为x＋6＝0和－4x－3y＝0，不平行；当a≠0时，eq\f(a－4,1)＝eq\f(－3,a)≠eq\f(2a,－6)，解得a＝1.4．已知点A(－1,1)和B(1,7)，则原点O到直线AB的距离为()\f(2\r(5),5)\f(2\r(10),5)C．3D．5答案：B解析：直线AB的方程为3x－y＋4＝0，d＝eq\f(4,\r(10))＝eq\f(2\r(10),5).5．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜－2或a＞eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)＜a＜0C．－2＜a＜0D．－2＜a＜eq\f(2,3)答案：D解析：a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0,3a2＋4a－4＜0，－2＜a＜eq\f(2,3).6．圆心为A(1，－2)且与直线x－3y＋3＝0相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝eq\r(10)B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10C．(x＋1)2＋(y－2)2＝eq\r(10)D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10答案：B解析：圆半径r＝eq\f(|1＋6＋3|,\r(1＋9))＝eq\r(10)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝10.7．直线x＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长等于2eq\r(3)，则a的值等于()A．1或3\r(2)或－eq\r(2)\r(3)D．－1或3答案：A解析：由题意|a－2|2＋(eq\r(3))2＝22，解得a＝1或3.8．直线a2x－2y＋2＝0和直线x＋ay＋1＝0互相垂直，则a的值为()A．0或2B．0C．2D．－2或0答案：A解析：当a＝0时，y＝1与x＝－1垂直；当a≠0时，eq\f(a2,2)×(－eq\f(1,a))＝－1，a＝2.9．两平行线l1：x－y＋2＝0与l2：2x＋ay＋c＝0(c＞0)之间的距离是eq\r(2)，则eq\f(a－2,c)的值是()\f(1,2)B．1C．－1D．－eq\f(1,2)答案：D解析：根据两直线平行得：eq\f(1,2)＝eq\f(－1,a)≠eq\f(2,c)，所以a＝－2.又两直线的距离是eq\r(2)，所以有：eq\r(2)＝eq\f(|c－4|,\r(22＋22))，即|c－4|＝4，所以c＝8或c＝0(舍去)，所以a＝－2，c＝8代入eq\f(a－2,c)＝eq\f(－2－2,8)＝－eq\f(1,2).10．已知点M(－2,1)与点N(3,2)到直线l：ax－y＋2＝0的距离相等，则实数a等于()A．1或5B．－1或5\f(1,5)或1\f(1,5)或－1答案：D解析：l过点MN中点或l∥MN.①MN的中点为(eq\f(1,2)，eq\f(3,2))，由eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)＋2＝0得a＝－1.②kMN＝eq\f(2－1,3＋2)＝eq\f(1,5)，∴a＝eq\f(1,5).11．一束光线从点A(－1,1)出发，经过x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是()A．4eq\r(2)B．4C．3eq\r(2)D．3答案：B解析：因为入射光线与反射光线关于x轴对称，所以可以转而考虑A点关于x轴对称点A1与圆的关系，如图所示，最短距离为|A1B|＝|A1C|－1，A1(－1，－1)，C(2,3)，所以|A1C|＝eq\r(9＋16)＝5.∴|A1B|＝4.12．已知圆x2＋y2＝4，直线l：x－y＋b＝0，圆x2＋y2＝4上有四个点到直线l上的距离等于1，则b的取值范围为()A．－eq\r(2)＜b＜eq\r(2)B．－1＜b＜1\r(2)＜b＜2D．0＜b＜1答案：A解析：利用数形结合求解．如图所示，圆的半径为2，圆上存在四个点到直线y＝x＋b的距离等于1.∴b的极限位置是b＝±eq\r(2)，∴－eq\r(2)＜b＜eq\r(2).故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．直线2x＋y－3＝0被曲线x2＋y2＋4y－5＝0所截得的弦长等于________．答案：4解析：x2＋(y＋2)2＝9，d＝eq\r(5)，r＝3，eq\r(r2－d2)＝2.14．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P坐标是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(1,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))解析：设P(－3y，y)，则eq\r(y2＋9y2)＝eq\f(|－3y＋3y－2|,\r(10))，y＝±eq\f(1,5)当y＝eq\f(1,5)时，x＝－eq\f(3,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(1,5)))，当y＝－eq\f(1,5)时，x＝eq\f(3,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5))).15．如果实数x，y满足等式(x－3)2＋y2＝4，那么eq\f(y,x)的最大值是________．答案：eq\f(2\r(5),5)解析：设eq\f(y,x)＝k，y＝kx，(x－3)2＋k2x2＝4，(1＋k2)x2－6x＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k2)≥0，－eq\f(2\r(5),5)≤k≤eq\f(2\r(5),5).另可考虑斜率的几何意义来做．16．若圆x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0与直线y＝－1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为__________．答案：eq\r(3)解析：x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0，即(x＋eq\f(m,2))2＋y2＝eq\f(1,4)＋eq\f(m2,4)，故圆心坐标为(－eq\f(m,2)，0)，半径为eq\r(\f(1,4)＋\f(m2,4)).由圆心在y轴左侧，得－eq\f(m,2)＜0，即m＞0.由圆与直线y＝－1相切得eq\f(1,4)＋eq\f(m2,4)＝1.又m＞0，故m＝eq\r(3).三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)求过直线l1：2x＋y－5＝0，l2：3x－y－5＝0的交点P，且平行于直线x＋3y－3＝0的直线方程．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,3x－y－5＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1))，再设x＋3y＋c＝0，则c＝－5，x＋3y－5＝0为所求．18．(12分)已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.(1)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程；(2)求它们的公共弦长．解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②；②－①得：2x＋y－5＝0为公共弦所在直线的方程；(2)弦长的一半为eq\r(50－20)＝eq\r(30)，公共弦长为2eq\r(30).19．(12分)已知曲线C：x＝eq\r(4－y2)与直线y＝k(x－1)＋3只有一个交点，求实数k的取值范围．解：曲线C的方程可化为x2＋y2＝4，x≥0，∴曲线C表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆的右半部分，直线过定点M(1,3)．如图所示．由图可得kAM＝1，kBM＝5，∴1≤k＜5.又eq\f(|－k＋3|,\r(1＋k2))＝2，化简得3k2＋6k－5＝0，解得k＝－1±eq\f(2\r(6),3)(舍去正根)．综上，实数k的取值范围是1≤k＜5或k＝－1－eq\f(2\r(6),3).20．(12分)已知直线2x－y＋m＝0和圆x2＋y2＝5，求m分别为何值时，(1)无公共点．(2)截得的弦长为2.(3)交点处的半径互相垂直．解：(1)依题意，圆心O(0,0)到直线2x－y＋m＝0的距离大于半径eq\r(5)，由eq\f(|2×0－1×0＋m|,\r(22＋1))＞eq\r(5)，得|m|＞5，∴m＞5或m＜－5.故当m＞5或m＜－5时，直线2x－y＋m＝0和圆x2＋y2＝5无公共点．(2)依题意，设弦AB长为2，AB的中点为C，由圆的性质可知，OC⊥AB，则|OC|＝eq\r(|OA|2－|AC|2)＝2，∴eq\f(|2·0－1·0＋m|,\r(22＋1))＝2，|m|＝2eq\r(5)，∴m＝±2eq\r(5).故当m＝±2eq\r(5)时，直线2x－y＋m＝0和圆x2＋y2＝5截得弦长为2.(3)依题意，设弦AB，且OA⊥OB，又AB的中点为C，则OC⊥AB，可知|OC|＝eq\f(\r(2),2)|OA|，∴eq\f(|2·0－1·0＋m|,\r(22＋1))＝eq\f(\r(10),2)，|m|＝eq\f(5\r(2),2)，∴m＝±eq\f(5\r(2),2)，故当m＝±eq\f(5\r(2),2)时，直线2x－y＋m＝0和圆x2＋y2＝5的交点处的半径互相垂直．21．(12分)已知△ABC的两条高线所在的直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．求：(1)BC边所在的直线方程；(2)△ABC的面积．解：(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可得kAB＝－eq\f(3,2)，kAC＝1.∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－7＝0,x＋y＝0))得B(7，－7)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,2x－3y＋1＝0))得C(－2，－1)．∴BC边所在的直线方程为2x＋3y＋7＝0.(2)∵|BC|＝eq\r(117)，A点到BC边的距离d＝eq\f(15,\r(13))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×d×|BC|＝eq\f(1,2)×eq\f(15,\r(13))×eq\r(117)＝eq\f(45,2).22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径为eq\r(2).当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2).所以k＝2±eq\r(6)，即切线方程为y＝(2±eq\r(6))x.当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，则eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2).所以a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝