高中数学人教A版第二章数列等比数列 第二章

学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一等比数列的概念思考观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….答案从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．梳理等比数列的概念和特点．(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．(2)递推公式形式的定义：eq\f(an,an－1)＝q(n>1)(或eq\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)．(3)等比数列各项均不能为0.知识点二等比中项的概念思考在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？答案设这个数为G.则eq\f(G,2)＝eq\f(8,G)，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．梳理等比中项与等比中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项知识点三等比数列的通项公式思考等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？答案等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得eq\f(a2,a1)＝q，eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a4,a3)＝q，…，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)．将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝qn－1，化简得eq\f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．当n＝1时，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．梳理等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.类型一证明等比数列例1已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列．证明由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(m2n＋1＋2,m2n＋2)＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，∴数列{an}是等比数列．反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即eq\f(an＋1,an)＝q(与n无关的常数)．跟踪训练1已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)证明：数列{an}是等比数列．(1)解∵a1＝S1＝eq\f(1,3)(a1－1)，∴a1＝－eq\f(1,2).又a1＋a2＝S2＝eq\f(1,3)(a2－1)，∴a2＝eq\f(1,4).(2)证明∵Sn＝eq\f(1,3)(an－1)，∴Sn＋1＝eq\f(1,3)(an＋1－1)，两式相减得an＋1＝eq\f(1,3)an＋1－eq\f(1,3)an，即an＋1＝－eq\f(1,2)an，∴数列{an}是首项为－eq\f(1,2)，公比为－eq\f(1,2)的等比数列．类型二等比数列通项公式的应用命题角度1方程思想例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝12，①,a1q3＝18，②))②÷①，得q＝eq\f(3,2)，将q＝eq\f(3,2)代入①，得a1＝eq\f(16,3).因此，a2＝a1q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是eq\f(16,3)与8.反思与感悟已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练2在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解(1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.))所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.命题角度2等比数列的实际应用例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由条件可得，数列{an}是一个等比数列．其中a1＝，q＝，设an＝，则＝.两边取对数，得nlg＝lg，用计算器算得n≈4.答这种物质的半衰期大约为4年．反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．跟踪训练3某制糖厂2023年制糖5万吨，如果从2023年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg6≈，lg≈解记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，eq\f(an,an－1)＝(n≥2且n∈N*)，从而an＝5×－1，这里an＝30，故－1＝6，即n－1＝＝eq\f(lg6,lg＝eq\f,≈.故n＝11.答从2023年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．类型三等比中项例4若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则eq\f(a,b)的值为()A．±eq\f(1,2) \f(1,2)C．1 D．±1答案D解析∵1，a,3成等差数列，∴a＝eq\f(1＋3,2)＝2，∵1，b,4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴eq\f(a,b)＝eq\f(2,±2)＝±1.反思与感悟(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．跟踪训练4eq\r(2)＋1与eq\r(2)－1的等比中项是()A．1 B．－1C．±1 \f(1,2)答案C解析设x为eq\r(2)＋1与eq\r(2)－1的等比中项，则x2＝(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝1.∴x＝±1.1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32答案C解析由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝eq\f(a4,q)＝32.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A．4B．8C．6D．32答案C解析由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64 B．81C．128 D．243答案A解析∵{an}为等比数列，∴eq\f(a2＋a3,a1＋a2)＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.4．45和80的等比中项为________．答案－60或60解析设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，∴G＝±60.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：eq\f(an＋1,an)＝q(与n无关的常数)．(2)利用等比中项：aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*)．2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±eq\r(ab))，而不是一个(eq\r(ab))，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．40分钟课时作业一、选择题1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4 B．8C．16 D．32答案C解析由于aeq\o\al(2,4)＝a2·a6，所以a2·a6＝16.2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为()A．16 B．27C．36 D．81答案B解析∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于()A．－24 B．0C．12 D．24答案A解析由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9答案B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.5．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．12答案C解析在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.6．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3 B．2C．1 D．－2答案B解析∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.二、填空题7．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.答案2解析a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.8．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．答案80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝eq\f(1,32)，∴q＝eq\f(1,2).∴这4个数依次为80,40,20,10.9．已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________.答案90解析6，a，b,48成等差数列，则a＋b＝6＋48＝54；6，c，d,48成等比数列，设其公比为q，则q3＝eq\f(48,6)＝8，q＝2，故c＝12，d＝24，从而a＋b＋c＋d＝90.10．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.答案1解析设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，∴q＝eq\f(a3＋3,a1＋1)＝eq\f(a1－2＋3,a1＋1)＝1.三、解答题11．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值．解依题意得a＋b＝p＞0，ab＝q＞0，∴a＞0，b＞0，∴eq\f(a＋b,2)≠－2，b2≠－2a，a2≠－2b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋－2,2)＝b或\f(b＋－2,2)＝a，,－22＝ab，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))∴p＋q＝a＋b＋ab＝1＋4＋4＝9.12．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求{an}的通项公式．解设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝eq\f(a3,q)＝eq\f(2,q)，a4＝a3q＝2q，∴eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3)，解得q1＝eq\f(1,3)，q2＝3.当q＝eq\f(1,3)时，a1＝18，∴an＝18×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝eq\f(2,9)，∴an＝eq\f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝eq\f(1,3)时，an＝2×33－n，n∈N*；当q＝3时，an＝2×3n－3，n∈N*