人教版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用课件

第五章一元函数的导数及其应用15.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题人教版高中数学选择性必修第二册课件学习目标核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算1.

通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线在某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.新知学习在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.问题1高台跳水运动员的速度

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

…………

事实上，由

可以发现，

即时巩固∴发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为18m/s.

问题2抛物线的切线的斜率

1.990.012.011.9990.0012.0011.99990.00012.00011.999990.000012.000011.9999990.0000012.000001…………

平均速度的几何意义是曲线过两点

即时巩固课堂小结平均速度与瞬时速度割线与切线的斜率

两类变化率问题第五章15.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义学习目标1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算新知学习前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.

平均变化率

瞬时变化率（导数）

典例剖析

容易发现，平均变化率

表示割线P0P的斜率.

典例剖析

下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.0.20.40.60.80.40导函数的概念

课堂小结1.平均变化率2.瞬时变化率（导数）3.导数的几何意义4.导函数5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数

学习目标新课程标准解读核心素养数学运算2.会使用导数公式表.数学运算新课引入提问：求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤？第一步，写出

并化简；第二步，求极限，

若

存在，则思考：我们今后再遇到求复杂函数的导数问题，是不是都要按照这三个步骤来完成呢？新课引入探究新知

探究新知

探究新知

探究新知

探究新知

探究新知

探究新知

探究新知

反馈练习

切线方程直线方程点斜率导数导数值反馈练习

导数导数值斜率

知识梳理1.几个常用函数的导数公式形成思考：以上这些函数均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？

思考：还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？幂函数指数函数三角函数对数函数公式形成基本初等函数的导数公式公式形成反馈练习

函数的类型导数的公式求出导函数

反馈练习反馈练习反馈练习反馈练习答案x＋9y－6＝0小结反思小结小结反思小结5.2导数的运算5.2.2

导数的四则运算法则

学习目标新课程标准解读核心素养1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)数学运算2.掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)数学运算逻辑推理回顾旧知基本初等函数的导数公式探究一：两个函数的和（差）的导数

探究新知导数的运算法则1:

例题精讲教材76页解:

探究二：两个函数的积（商）的导数

探究新知导数的运算法则2:导数的运算法则3:

公式形成f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)例题精讲解:教材77页反馈练习

B反馈练习2．曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切线方程为

.

y=x＋23．曲线y=sinx在点P(,)处的切线的斜率为

.

4.求下列函数的导数反馈练习反馈练习5．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与直线y=x＋1相切，求b，c的值．反馈练习6.求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切线的方程.小结反思小结f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5.2导数的运算5.2.3

简单复合函数的导数

学习目标新课程标准解读核心素养1.了解复合函数的概念(重点)2.掌握复合函数的求导法则（难点）数学抽象3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点)数学运算逻辑推理温故知新f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)探究一：如何求函数y＝ln(2x-1)的导数？探究新知现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.探究新知问题1：函数y＝ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗？

定义形成

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).复合函数的概念：例1

指出下列函数的复合关系：

（1）（2）（3）（4）

由复合而成．

解：（1）（2）由复合而成．

（3）由复合而成．

（4）由复合而成．

例题精讲例2

写出由下列函数复合而成的函数：（1）（2）解：（1）（2）例题精讲探究新知

以函数y=sin2x为例，研究其导数.(1)猜想y=sin2x的导数与函数y=sinu，u=2x的导数有关.

以y′x

表示y对x的导数,以y′u

表示y对u的导数,以u′x

表示u对x的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x的导数y′u=cosu,u′x

=2

(2)可以换个角度来求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x探究新知

复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.y′x＝y'u·u′x

[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)问题解决问题3：用新学的知识求函数y＝ln(2x-1)的导数函数y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu和u＝2x-1复合而成以y′u

表示对u求导,以u′x表示对x求导因为y'u＝(lnu)'＝,u'x＝2,所以y'x＝y'u·u'x＝

·2=

反馈练习例1：求的导数分析：解1：解2：可由y=sinu,u=2x复合而成xxxx2cos)2(sincos)(sin=¢Þ=¢?=2cos2x反馈练习例2设y=sin2x，求

y.

解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sin

x复合而成.而所以这里，我们用复合函数求导法.反馈练习求

y.解将中间变量u=1-

x2

记在脑子中.这样可以直接写出下式例

3方法归纳(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；

(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.分解求导回代探究三：通过以上练习，请你总结复合函数求导的一般步骤。反馈练习反馈练习反馈练习反馈练习小结反思小结第五章5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性学习目标1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.2.能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间.3.能够利用函数的单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等.4.体会导数法判断函数的单调性的优越性.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理新知学习在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.

观察：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.

（1）（2）（3）（4）

典例剖析

（1）

（2）

（3）

单调递增单调递减单调递增

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

（1）

（2）一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.3.函数的变化快慢与导数的关系

随堂小测

A

B

C

DD

A.

B.

C.

D.C

B

课堂小结

3.函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.第五章35.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大（小）值学习目标1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值.3.体会导数与单调性、极值、最（大）小值的关系.核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算、数学建模新知学习在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

函数极值的概念

典例剖析

200单调递增单调递减单调递增

极大值一定大于极小值吗？思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

（1）

（2）

（3）

（4）

10单调递减0单调递增

0单调递减单调递增

问题饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

随堂小测

①②

4

（2）该商场2019年第5个月的月利润最大，最大月利润为3125元.课堂小结

内容索引知识网络考点突破真题体验1知识网络PARTONE2考点突破PARTTWO一、导数几何意义的应用1.导数的几何意义，作为数形结合的桥梁，成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档.2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算，数学抽象等核心素养.例1

设函数f(x)＝

x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行.(1)求a的值；解f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去).故a＝1.(2)求f(x)在x＝3处的切线方程.解由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.反思感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x0，y0)的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，若不是切点可先设切点为Q(x1，y1)，由

＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.解析设f(x)＝x3＋ax＋1，由题意知f(2)＝3，则a＝－3.f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k，又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，∴b＝3－9×2＝－15.跟踪训练1

已知直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝______.－15二、函数的单调性、极值、最值问题1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题.是最近几年高考的重点内容，难度中高档.2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，极小值为f(2)＝ln2＋1，无极大值.(2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值.①当m≥－1时，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去.②当－e<m<－1时，x∈(1，－m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(－m，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不满足－e<m<－1，故舍去.③当m≤－e时，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递减，解得m＝－3e，满足m≤－e.综上m＝－3e.反思感悟(1)极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质.另外，函数有极值未必有最值，反之亦然.(2)判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：①确定函数f(x)的定义域；②解方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值.(1)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求m的取值范围；解f′(x)＝x2－2x－m，由题意可知，f′(x)＝x2－2x－m<0在(0，＋∞)上有解，所以m>x2－2x，则m>－1，即m的取值范围为(－1，＋∞).(2)若x＝－1是函数的极值点，求函数f(x)在[0,5]上的最小值.解因为f′(－1)＝1＋2－m＝0，所以m＝3.所以f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.所以当x∈(0,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.所以函数f(x)在[0,5]上的最小值为f(3)＝9－9－9＝－9.三、导数在实际问题中的应用1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，

多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，提升逻辑推理及数学运算等核心素养.例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去).当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.反思感悟(1)应用导数解决实际问题的关键是认真分析题意，建立函数模型.由于是实际问题，要注意根据问题的实际情况，确定函数的定义域.(2)根据所建立的函数模型，用导数求最大、最小值.跟踪训练3不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援某市.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至该市，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/小时时，燃料费是6元/小时，而其他与速度无关的费用是96元/小时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为v海里/小时的燃料费是p元/小时，由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数.设船的速度为v海里/小时时航行1海里所需的总费用为y元，而每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，令y′＝0，解得v＝20.因为当0<v<20时，y′<0；当v>20时，y′>0，所以当v＝20时，y取得最小值.故当轮船的速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小.四、函数方程问题1.从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.一般出现在高考题解答题中，难度中高档.2.通过解决函数方程问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.例4

设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；解f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围；解由(1)可知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同的交点，则方程f(x)＝a有3个不同的实根时，(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.解方法一f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是单调递增，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值范围为(－∞，－3].方法二直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，曲线f(x)在点(1,0)处的切线斜率f′(1)＝－3，由(2)中草图知，要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3].反思感悟讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.解函数f(x)的定义域为{x|x≠a}.(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，即f(x)在(a，＋∞)上无零点.令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1).由g′(x)＝0得x＝a－1.当x＜a－1时，g′(x)＜0；当x＞a－1时，g′(x)＞0，∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，a)上单调递增，∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.∴当a＝1时，g(a－1)＝0，则x＝a－1是f(x)的唯一零点；当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，则f(x)没有零点；当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，则f(x)有两个零点.3真题体验PARTTHREE解析因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，1.(2019·全国Ⅲ)已