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上海南汇中学2023届第一学期十月月考高三数学命题、审题:高考试题研究小组填空题(每小题4分,共14题,共56分)1.函数的定义域为2.幂函数在区间上是减函数,则_________3.已知集合,则集合的真子集的个数为______4.若,则的最大值为_______5.函数,若,则的值为6.函数的单调递减区间是_________7.方程的解________8.已知全集,集合,,若,则的集合为_________9.已知直线(为常数)与函数及函数的图象分别相交于两点,则两点之间的距离为10.对于,不等式恒成立,则实数的取值范围是________11.函数的反函数为,如果函数的图像过点,那么函数的图像一定过点________12.已知函数,设,若,则的取值范围是__________13.已知函数是偶函数,则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是_________14.定义在上的函数满足:①;②当时,,则集合中的最小元素是二、选择题(每小题5分,共4题,共20分)15.已知为实数,且,则下列不等式不能成立的是()(A)(B)(C)(D)16.条件甲:“”是条件乙:“使得对一切恒成立的的取值范围”的()条件(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件17.若,,,的方差为,则,,,的方差为()18.已知函数,则下列命题中:(1)函数为周期函数;(2)函数在区间上单调递增;(3)函数在取到最大值0,且无最小值;(4)若方程有且只有两个不同的实根,则,正确的命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4三、解答题(12+14+14+16+18=74分)19.(本题满分12分)已知集合,.⑴求集合;⑵若,求实数的取值范围.20.(本题满分14分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度(单位:千克/年)是养殖密度(单位:尾/立方米)的函数.当不超过4(尾/立方米)时,的值为(千克/年);当时,是的一次函数;当达到(尾/立方米)时,因缺氧等原因,的值为(千克/年).(1)当时,求函数的表达式;(2)当养殖密度为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大,并求出最大值.21.(本题满分14分)已知函数.(1)当时,求的反函数;(2)当时,证明函数在上是减函数.22.(本题满分16分)已知函数.(1)求函数的定义域,并判断的奇偶性;(2)如果当时,的值域是,求与的值;(3)对任意的,是否存在,使得,若存在,求出;若不存在,请说明理由.23.(本题满分18分)对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;(3)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.上海南汇中学2023届第一学期十月月考高三数学命题、审题:高考试题研究小组填空题(每小题4分,共14题,共56分)1.函数的定义域为2.幂函数在区间上是减函数,则__0_______3.已知集合,则集合的真子集的个数为___31___4.若,则的最大值为_______5.函数,若,则的值为6.函数的单调递减区间是_________7.方程的解__1______8.已知全集,集合,,若,则的集合为_________9.已知直线(为常数)与函数及函数的图象分别相交于两点,则两点之间的距离为10.对于,不等式恒成立,则实数的取值范围是________11.函数的反函数为,如果函数的图像过点,那么函数的图像一定过点__(2,1)______12.已知函数,设,若,则的取值范围是__________13.已知函数是偶函数,则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是___4______14.定义在上的函数满足:①;②当时,,则集合中的最小元素是12二、选择题(每小题5分,共4题,共20分)15.已知为实数,且,则下列不等式不能成立的是(B)(A)(B)(C)(D)16.条件甲:“”是条件乙:“使得对一切恒成立的的取值范围”的(D)条件(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件17.若,,,的方差为,则,,,的方差为(D)18.已知函数,则下列命题中:(1)函数为周期函数;(2)函数在区间上单调递增;(3)函数在取到最大值0,且无最小值;(4)若方程有且只有两个不同的实根,则,正确的命题的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4三、解答题(12+14+14+16+18=74分)19.(本题满分12分)已知集合,.⑴求集合;⑵若,求实数的取值范围.解:⑴………4分⑵………7分………8分∴………12分20.(本题满分14分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度(单位:千克/年)是养殖密度(单位:尾/立方米)的函数.当不超过4(尾/立方米)时,的值为(千克/年);当时,是的一次函数;当达到(尾/立方米)时,因缺氧等原因,的值为(千克/年).(1)当时,求函数的表达式;(2)当养殖密度为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大,并求出最大值.解:(1)由题意:当时,;…………2分当时,设,显然在是减函数,由已知得,解得…………4分故函数=…………6分(2)依题意并由(1)可得………8分当时,为增函数,故;…………10分当时,,.…………13分所以,当时,的最大值为.当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为千克/立方米.……14分21.(本题满分14分)已知函数.(1)当时,求的反函数;(2)当时,证明函数在上是减函数.解:(1)时,又,所以(2)任取,因为,所以,,又,所以.因此,当时,函数在上是减函数。22.(本题满分16分)已知函数.(1)求函数的定义域,并判断的奇偶性;(2)如果当时,的值域是,求与的值;(3)对任意的,是否存在,使得,若存在,求出;若不存在,请说明理由.22.[解](1)令,解得,……………2分对任意所以函数是奇函数.………2分
另证:对任意所以函数是奇函数.…………………2分(2)由知,函数在上单调递减,因为,所以在上是增函数………2分又因为时,的值域是,所以且在的值域是,故且(结合图像易得)……………2分解得(舍去).所以,…………………2分(3)假设存在使得即,解得,…………………3分下证:.证明:
,∴,
∴,即,∴所以存在,使得……………3分另证:要证明,即证,也即.,∴∴,∴.23.(本题满分18分)对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;(3)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.解:为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解.(1)当时,方程即有解,所以为“局部奇函数”.………4分(2)当时,可化为,因为的定义域为,所以方程在上有解.…5分令,则.设,当时,在上为减函数,当
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