高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式 2

第一讲二1一、选择题1．实数a，b满足ab<0，那么()A．|a－b|<|a|＋|b| B．|a＋b|≥|a－b|C．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<||a|－|b||解析：由ab<0，不妨设a>0，b<0，所以|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|<|a－b|答案：C2．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)<1成立的充要条件是()A．a，b都不为零 B．ab<0C．ab为非负数 D．a，b中至少有一个不为零解析：由绝对值不等式|a＋b|≤|a|＋|b|∴eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1，当a，b同号或其中一个为零时取等号．∴ab<0.答案：B3．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是()A．|x－y|<2m B．|x－y|<2C．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m解析：|x－a|<m|y－a|<n∴|x－a|＋|y－a|<m＋n∵|x－a|＋|y－a|≥|(x－a)－(y－a)|＝|x－y|∴|x－y|<m＋n答案：D4．已知函数f(x)＝－2x＋1，对任意ε使得|f(x1)－f(x2)|<ε成立的一个充分非必要条件是()A．|x1－x2|<ε B．|x1－x2|<eq\f(ε,2)C．|x1－x2|<eq\f(ε,3) D．|x1－x2|>eq\f(ε,3)解析：∵f(x)＝－2x＋1，∴|f(x1)－f(x2)|＝|－2x1＋1＋2x2－1|＝|2x1－2x2|＝2|x1－x2|<ε，∴|x1－x2|<eq\f(ε,2)∴|x1－x2|<eq\f(ε,3)⇒|x1－x2|<eq\f(ε,2).答案：C二、填空题5．若不等式|x＋5|＋|x＋7|＜a的解集为非空集合，则实数a的取值范围是________．解析：由|a|＋|b|≥|a＋b|得|x＋5|＋|x＋7|＝|x＋5|＋|－x－7|≥|x＋5－x－7|＝|－2|＝2，∴a＞2.答案：(2，＋∞)6．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．解析：∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x))＝eq\f(13,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(4y,5x)×3≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，当且仅当eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)即x＝2y＝1时取等号．答案：5三、解答题7．已知|A－a|＜eq\f(ε,3)，|B－b|＜eq\f(ε,3)，|C－c|＜eq\f(ε,3).求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜ε.证明：|A＋B＋C－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜eq\f(ε,3)＋eq\f(ε,3)＋eq\f(ε,3)＝ε.8．设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1.求证：|f(2)|≤7.证明：∵|x|≤1时，有|f(x)|≤1，∴|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c＝|3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－3c＝|3f(1)＋f(－1)－3≤|3f(1)|＋|f(－1)|＋|3≤3＋1＋3＝7.∴|f(2)|≤7.9．设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．(1)若|a|≤1，求|f(x)|的最大值；(2)求a的值，使函数f(x)的最大值eq\f(17,8).解析：(1)设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x∵－1≤x≤1，当x＝±1时，|f(x)|＝|g(a)|＝1；当x≠±1时，x2－1<0，g(a)＝(x2－1)a＋x是单调递减函数．∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)，g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，∴|f(x)|＝|g(a)|≤|g(a)max|＝|－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)|≤eq\f(5,4)，∴f(x)的最大值为eq\f(5,4).(2)当a＝0时，f(x)＝x；当－1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1不可能满足题设条件，∴a≠0.又f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1，故f(±1)均不是最大值．∴f(x)的最大值eq\f(17,8)应在其对称轴上顶点位置取得．∴a<0.∴命题等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<－\f(1,2a)<1,f－\f(1,2a)＝\f(17,8),a<0))⇒eq\b\lc\{