高中数学苏教版第二章平面向量 章末知识整合

章末知识整合专题一平面向量的线性运算[例1]e1，e2是不共线的向量，已知向量eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．分析：因为A，B，D三点共线，所以存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→))，可由已知条件表示出eq\o(BD,\s\up13(→))，由向量相等得到关于λ，k的方程组，求得k值．解：eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，故存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BD,\s\up13(→)).所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k＝－8.规律方法向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，运用它们的运算法则、运算律，可以解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键．[变式训练]以向量eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b为邻边作平行四边形OADB，C为AB与OD的交点，eq\o(BM,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up13(→))，eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up13(→)).若eq\o(MN,\s\up13(→))＝λa＋μb，求λ＋μ的值．解：如图所示，eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,6)(a＋b)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(a－b)，eq\o(MC,\s\up13(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a－b)，eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(MC,\s\up13(→))＋eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)(a－b)＋eq\f(1,6)(a＋b)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.又eq\o(MN,\s\up13(→))＝λa＋μb，由平面向量的基本定理，λ＝eq\f(1,2)，μ＝－eq\f(1,6).因此λ＋μ＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).专题二向量的坐标运算[例2]已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋teq\o(AB,\s\up13(→)).(1)当t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．分析：(1)将eq\o(OP,\s\up13(→))的坐标用t表示出来，然后讨论eq\o(OP,\s\up13(→))的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(PB,\s\up13(→))，解出t的值；若t无解，则不能构成平行四边形．解：(1)因为eq\o(OA,\s\up13(→))＝(1，2)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(3，3)，所以eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋teq\o(AB,\s\up13(→))＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若点P在第二象限，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0.))解得－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)因为eq\o(OA,\s\up13(→))＝(1，2)，eq\o(PB,\s\up13(→))＝eq\o(PO,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(PB,\s\up13(→)).又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2))无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．规律方法向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一．运用向量的坐标运算主要可以解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．[变式训练]已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且|eq\o(AP,\s\up13(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up13(→))|，求点P的坐标．解：设点P的坐标为(x，y)，|eq\o(AP,\s\up13(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up13(→))|.当P在线段AB上时，eq\o(AP,\s\up13(→))＝2eq\o(PB,\s\up13(→)).所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0.))所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)).当点P在线段AB延长线上时，eq\o(AP,\s\up13(→))＝－2eq\o(PB,\s\up13(→)).所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8.))综上所述，点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5，8)．专题三平面向量的数量积[例3]设0＜|a|≤2，且函数f(x)＝cos2x－|a|sinx－|b|的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求|a＋b|.分析：要求|a＋b|需知道|a|，|b|，故可利用函数的最值确立|a|，|b|的值．解：f(x)＝1－sin2x－|a|sinx－|b|＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(|a|,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(|a|2,4)－|b|＋1.因为0＜|a|≤2，所以当sinx＝－eq\f(|a|,2)时，eq\f(1,4)|a|2－|b|＋1＝0；当sinx＝1时，－|a|－|b|＝－4.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)|a|2－|b|＋1＝0，,－|a|－|b|＝－4))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝2，,|b|＝2.))所以|a＋b|2＝8＋4eq\r(2)，即|a＋b|＝2eq\r(2＋\r(2)).规律方法平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．[变式训练](2023·重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()\f(π,4)\f(π,2)\f(3π,4)D．π解析：因为(a－b)⊥(3a＋2b)所以(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b因为|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，设〈a，b〉＝θ，则3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，所以eq\f(8,3)|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2·cosθ－2|b|2＝0.所以cosθ＝eq\f(\r(2),2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,4).答案：A专题四平面向量的应用[例4]如图所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AM⊥EF.分析：要证AM⊥EF，只需证明eq\o(AM,\s\up13(→))·eq\o(EF,\s\up13(→))＝0.将eq\o(AM,\s\up13(→))用eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))表示，eq\o(EF,\s\up13(→))用eq\o(AE,\s\up13(→))，eq\o(AF,\s\up13(→))表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))，eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AE,\s\up13(→)).所以eq\o(AM,\s\up13(→))·eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))·(eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(0＋eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→))－0)＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AE,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)[|eq\o(AC,\s\up13(→))||eq\o(AB,\s\up13(→))|cos(90°＋∠BAC)－|eq\o(AB,\s\up13(→))||eq\o(AC,\s\up13(→))|cos(90°＋∠BAC)]＝0，所以eq\o(AM,\s\up13(→))⊥eq\o(EF,\s\up13(→))，即AM⊥EF.规律方法平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．[变式训练]如图所示，在平面斜坐标xOy中．∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若eq\o(OP,\s\up13(→))＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．(1)若点P的斜坐标为(2