高中数学人教A版第三章直线与方程 数学（人教版）第三章直线与方程复习

直线中的几类对称问题（下周晚自习让学生自学，教师点拨）1月8日写反思对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题.对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.分析：易知B是线段AC的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解由题意知，B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）.点评解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解.另外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A，B，C三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.分析因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线.这就找到了解题的突破口.解据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为由题意可知，，解得.故所求点A′的坐标为三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.由点到直线距离公式，得，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）.由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B（8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.分析两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解由解得l1，l2的交点，设所求直线l的斜率为k，由到角公式得，，所以k=-7.由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.直线系方程的问题分类解析直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用，本文将直线系在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.一、平行直线系方程在解题中的应用与直线：（A,B不同时为0）平行的直线系方程为：（）.例1求过点A(3,2)且与直线：平行的直线的方程.分析：本题是已知两平行直线中的一条直线方程求另一条直线方程问题，可用平行直线系求解.解析：设：（），A(3,2)在m上∴3+2+c=0,解得c=-5∴直线方程为：x+y+5=0点评：对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：.例2求过点B(3,0)且与直线垂直直线的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设：，B(3,0)在上∴2*3+0+c=0,解得c=-6∴：2x+y-6=0.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.（平行线系，垂直线系在该章复习课上例题讲解。）三、求直线系方程过定点问题例5证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法解析：（恒等式法）直线方程化为:,∵∈R,∴，解得，，，∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法，就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标。四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）.例4求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：或.五、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）.例3求过点圆的切线的方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为（其中不全为零），则整理有，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故