高中数学人教A版第一章集合与函数概念 课后提升作业十二

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业十二奇偶性(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2023·温州高一检测)函数f(x)=x2A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选B.因函数f(x)=x2+3=x22.下列函数是偶函数的为()(x)=|x-3|(x)=x2+x(x)=x2-x(x)=x【解析】选，B，C选项中的定义域均为R，但f(-x)≠f(x)，所以都不是偶函数，只有选项D中f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称.3.(2023·济南高一检测)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时f(x)=x(1-x)，当x<0时，f(x)=()(x-1) (x+1)(x-1) (x+1)【解析】选D.当x<0时，-x>0，所以f(-x)=-x(1+x)，又f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即-f(x)=-x(1+x)，所以f(x)=x(1+x).(x)=x3+1xA.原点对称 轴对称=x对称 =-x对称【解析】选A.由于f(-x)=(-x)3+1-x=-=-f(x)，所以f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称.5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是()(-1)<f(3) (0)<f(5)(3)>f(2) (2)>f(0)【解析】选(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)，又f(3)>f(1)，所以f(3)>f(-1)成立.6.(2023·郑州高一检测)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=() B.-1 【解析】选C.把x=-1代入已知得f(-1)-g(-1)=1，所以f(1)+g(1)=1.7.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx()A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即ax2-bx+c=ax2+bx+c，所以b=0，此时g(x)=ax3+cx(a≠0)，由于g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x)，所以g(x)是奇函数.8.已知f(x)=x7+ax5+bx-5，且f(-3)=5，则f(3)=() B.15 【解析】选(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a·35+3b-5)-10=-f(3)-10=5，所以f(3)=-15.【一题多解】选A.设g(x)=x7+ax5+bx，则g(x)为奇函数，因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5，所以g(3)=-10，所以f(3)=g(3)-5=-15.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2023·佛山高一检测)已知f(x)是定义在[-2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是.【解析】由图象可知，当x∈(0，2]时，2<f(x)≤3.因为f(x)为奇函数，故f(-x)=-f(x)，所以当x∈[-2，0)时，有2<f(-x)≤3，即2<-f(x)≤3，所以-3≤f(x)<-2.所以函数的值域为[-3，-2)∪(2，3].答案：[-3，-2)∪(2，3]【延伸探究】本题条件改为偶函数，则f(x)的值域如何？【解析】由图象可知，当x∈(0，2]时，f(x)∈(2，3].因为f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，所以当x∈[-2，0)时，有2<f(-x)≤3，所以f(x)∈(2，3].故f(x)的值域为(2，3].答案：(2，3]10.定义在(-∞，+∞)上的函数y=f(x)在(-∞，2)上是增函数，且函数y=f(x+2)为偶函数，则f(-1)，f(4)，f512的大小关系是【解析】因为y=f(x+2)为偶函数，所以y=f(x)关于x=2对称.又y=f(x)在(-∞，2)上为增函数，所以y=f(x)在(2，+∞)上为减函数，而f(-1)=f(5)，所以f51答案：f51三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2023·济宁高一检测)已知函数f(x)=1x2+1，(1)如图，已知f(x)在区间[0，+∞)的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据.(2)求证：f(x)+g(x)=1(x≠0).【解析】(1)因为f(x)=1x2+1，所以f(x)的定义域为R.又任意x∈R，都有f(-x)=1(2)因为g(x)=f1x=11x2+1=x21+12.(2023·福州高一检测)已知函数y=f(x)(x≠0)对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1)，f(-1)的值.(2)判断函数y=f(x)(x≠0)的奇偶性.【解析】(1)因为对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)=f(x)+f(y)，所以令x=y=1，得到f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，令x=y=-1，得到f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0.(2)由题意可知，函数y=f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，令y=-1，得f(xy)=f(-x)=f(x)+f(-1)，因为f(-1)=0，所以f(-x)=f(x)，所以y=f(x)(x≠0)为偶函数.【能力挑战题】已知函数f(x)对一切实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数.(2)若f(-3)=a，试用a表示f(12).【解析】(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)，令x=y=0得f(0)=2f(0)，所以f(0)=0.所以f(x)+