高中数学人教B版第三章不等式 学业分层测评19

学业分层测评(十九)不等式的实际应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某出版社，如果以每本元的价格发行一种图书，可发行80000本．如果一本书的定价每升高元，发行量就减少2000本，那么要使收入不低于200000元，这种书的最高定价应当是()A．2 B.3C．4 【解析】设这种书的最高定价应当为x元，由题意得：80000－eq\f(x－,×2000×x≥200000，解得eq\f(5,2)≤x≤4，所以最高定价为4元．【答案】C2．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图3­4­3所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大()图3­4­3A．3 B．4C．5 【解析】设y＝a(x－6)2＋11，将(4,7)代入求得a＝－1，∴平均利润为：eq\f(y,x)＝eq\f(－x－62＋11,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12≤－2×5＋12＝2，当x＝eq\f(25,x)，即x＝5时，等号成立．【答案】C3．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤20，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t满足()A．15≤t≤20 B．10≤t≤15C．10＜t＜15 ＜t≤10【解析】由题意知日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.【答案】B4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件 B．80件C．100件 件【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝eq\f(800＋\f(x,8)×x×1,x)＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)×\f(x,8))＝20，当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80件(x＞0)时，f(x)取最小值，故选B.【答案】B5．制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是()【导学号：33300100A．4.6m B．4.8mC．5m D.5.2m【解析】设直角三角形的一条直角边为a，则另一条直角边为eq\f(2,a)，斜边为eq\r(a2＋\f(4,a2)).∴周长l＝a＋eq\f(2,a)＋eq\r(a2＋\f(4,a2))≥2eq\r(2)＋2(当且仅当a＝eq\f(2,a)时取等号)≈.【答案】C二、填空题6．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq\f(5,2)t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.【答案】[3,5]7．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．【解析】依题意，得5%＜eq\f(x·4%＋200·7%,x＋200)＜6%，解得x的范围是(100,400)．【答案】(100,400)8．如图3­4­4，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是______dm2.图3­4­4【解析】设阴影部分的高为xdm，则宽为eq\f(72,x)dm，四周空白部分的面积是ydm2.由题意，得y＝(x＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(72,x)＋2))－72＝8＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))≥8＋2×2eq\r(x·\f(144,x))＝56(dm2)．当且仅当x＝eq\f(144,x)，即x＝12dm时等号成立．【答案】56三、解答题9．有一批货物的成本为A元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行．已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由．【解】若本月初出售到下月初获利为m，下月初出售获利为n.则m＝(100＋A)×(1＋2%)＝102＋，n＝120＋A－5＝115＋A，故n－m＝13－，①当A＝650时，本月初、下月初出售获利相同．②当A＞650时，n－m＜0即n＜m，本月初出售好．③当A＜650时，n＞m，下月初出售好．10．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，求销售价每件应定为多少元．【解】设销售价定为每件x元，利润为y，则：y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．[能力提升]1.在如图3­4­5所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x图3­4­5A．[15,20] B.[12,25]C．[10,30] D.[20,30]【解析】设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.【答案】C2．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处 B．4km处C．3km处 D.2km【解析】设仓库建在离车站xkm处，则土地费用y1＝eq\f(k1,x)(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝eq\f(4,5)，故总费用y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5时等号成立．【答案】A3．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．【解析】设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为eq\f(x－8,x).第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为eq\f(4x－8,x)升，此时桶内有纯农药液eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－8－\f(4x－8,x)))升．依题意，得(x－8)－eq\f(4x－8,x)≤28%·x.由于x＞0，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0.解得eq\f(10,3)≤x≤eq\f(40,3).又∵x＞8，∴8＜x≤eq\f(40,3).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(8，\f(40,3)))4．(2023·山东省莱州一中月考)如图3­4­6所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．图3­4­6(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.【导学号：33300101】【解】(1)设DN的长为x(x＞0)米，则|AN|＝(x＋2)米．∵eq\f(|DN|,|AN|)＝eq\f(|DC|,|AM|)，∴|AM|＝eq\f(3x＋2,x)，∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝eq\f(3x＋22,x).由S矩形AMPN＞32，得eq\f(3x＋22,x)＞32.又由x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜eq\f(2,3)或x＞6.即DN的长的取值范围是