高中数学北师大版2第一章统计回归分析 学业分层测评

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是()A．直线l1和l2都过点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．直线l1和l2必平行D．直线l1和l2必重合【解析】线性回归方程y＝bx＋a恒过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故直线l1和l2都过点(s，t)．【答案】A2．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y＝－，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量()A．一定是%B．在%附近的可能性比较大C．无任何参考数据D．以上解释都无道理【解析】将x＝36代入回归方程得y＝×36－≈.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在%附近的可能性较大，故选B．【答案】B3．关于回归分析，下列说法错误的是()A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归模型中一定存在随机误差D．散点图反映变量间的确定关系【解析】用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故D错误．【答案】D4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：x34y12对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)【解析】代入检验，当x取相应的值时，所得y值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．【答案】D5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都有直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1【解析】所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D．【答案】D二、填空题6．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法．【解析】回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．【答案】相关7．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．【解析】∵r＜0时b＜0，∴大多数点落在第二、四象限．【答案】二、四8．某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：学生学科12345总成绩(x)482383421364362外语成绩(y)7865716461则外语成绩对总成绩的回归直线方程是________.【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(482＋383＋421＋364＋362,5)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(78＋65＋71＋64＋61,5)＝，∴b＝eq\f(482－78－＋…＋362－61－,482－2＋…＋362－2)≈，∴a＝－×＝，∴方程为y＝＋.【答案】y＝＋三、解答题9．(2023·包头高二检测)关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：x23456y若由资料可知y对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＝\x\to(y)－b\o(x,\s\up6(－))，b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)))(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【解】(1)eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f－5×4×5,90－5×42)＝.于是a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－×4＝.所以线性回归方程为y＝＋.(2)当x＝10时，y＝×10＋＝(万元)，即估计使用10年时维修费用是万元．10．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.气温/℃261813104－1杯数202434385064画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．【解】画出散点图如图所示．eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(26＋18＋13＋10＋4－1)≈，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈，eq\o(∑,\s\up6(

6,eq\o(,\s\do4(i＝1))))xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，eq\o(∑,\s\up6(

6,eq\o(,\s\do4(i＝1))))xeq\o\al(2,i)＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，eq\o(∑,\s\up6(

6,eq\o(,\s\do4(i＝1))))yeq\o\al(2,i)＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1))))由r＝eq\f(\o(eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1)))))\o(,\s\do4())xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\o(eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1)))))\o(,\s\do4())x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\o(eq\o(∑,\s\up6(

n,eq\o(,\s\do4(i＝1)))))\o(,\s\do4())y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))，可得r≈.由于r的值接近于1，所以x与y具有很强的线性相关关系．[能力提升]1．(2023·安徽皖南八校联考)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：x(月份)12345y(万盒)55668若x，y线性相关，线性回归方程为y＝＋a，则估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为()A．万盒 B．万盒C．万盒 D．万盒【解析】由题意知eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝6，则a＝eq\x\to(y)－\x\to(x)＝，∴x＝6时，y＝.【答案】A2．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()【导学号：67720002】A．b>b′，a>a′ B．b>b′，a<a′C．b<b′，a>a′ D．b<b′，a<a′【解析】由(1,0)，(2,2)求b′，a′.b′＝eq\f(2－0,2－1)＝2，a′＝0－2×1＝－2.求b，a时，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(13,6)，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b＝eq\f(58－6××\f(13,6),91－6×＝eq\f(5,7)，a＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×＝eq\f(13,6)－eq\f(5,2)＝－eq\f(1,3)，∴b<b′，a>a′.【答案】C3．(2023·江西吉安高二检测)已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为y＝＋，那么表格中的数据m的值为________.x0134ym【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋m,4)＝eq\f＋m,4)，把(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))代入回归方程得eq\f＋m,4)＝×2＋，解得m＝.【答案】4．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：xy64xy散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋eq\f(b,x).试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．【解】设u＝eq\f(1,x)，则y≈a＋bu，得下表数据：u30151y64u35624y进而可得n＝10，eq\x\to(u)≈4，eq\x\to(y)＝，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))ueq\o