高中数学人教A版2第三章数系的扩充与复数的引入 学业分层测评1

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知复数z＝2－i，则z·eq\x\to(z)的值为()A．5 \r(5)C．3 \r(3)【解析】z·eq\x\to(z)＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.【答案】A2．i是虚数单位，复数eq\f(7＋i,3＋4i)＝()A．1－i B．－1＋i\f(17,25)＋eq\f(31,25)i D．－eq\f(17,7)＋eq\f(25,7)i【解析】eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i，故选A.【答案】A3．z1，z2是复数，且zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)<0，则正确的是()A．zeq\o\al(2,1)<－zeq\o\al(2,2)B．z1，z2中至少有一个是虚数C．z1，z2中至少有一个是实数D．z1，z2都不是实数【解析】取z1＝1，z2＝2i满足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)<0，排除C，从而选B.【答案】B4．若z＋eq\x\to(z)＝6，z·eq\x\to(z)＝10，则z＝()A．1±3i B．3±iC．3＋i D．3－i【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝6，a2＋b2＝10，))解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.【答案】B5．已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝()【导学号：19220230】\f(1,4) \f(1,2)C．1 D．2【解析】法一：z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,1－3－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－2×4)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，∴eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i.∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(1,4)i))＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).法二：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)∴|z|＝eq\f(|\r(3)＋i|,|1－\r(3)i|2)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(1,4).【答案】A二、填空题6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.【解析】由题意，得x＋i＝eq\f(－1＋2i,i)＝eq\f(－i＋2i2,i2)＝eq\f(－i－2,－1)＝2＋i，所以x＝2.【答案】27．(2023·天津高二检测)复数eq\f(5,2－i)的共轭复数是________．【解析】eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝eq\f(52＋i,5)＝2＋i，其共轭复数为2－i.【答案】2－i8．复数eq\f(\r(2)－2ai,a＋2i)的模为eq\r(2)，则实数a的值是________．【解析】eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)－2ai,a＋2i)))＝eq\f(|\r(2)－2ai|,|a＋2i|)＝eq\f(\r(\r(2)2＋－2a2),\r(a2＋22))＝eq\r(2)，解得a＝±eq\r(3).【答案】±eq\r(3)三、解答题9．(2023·唐山高二检测)若z满足z－1＝eq\r(3)(1＋z)i，求z＋z2的值.【导学号：19220231】【解】∵z－1＝eq\r(3)(1＋z)i，∴z＝eq\f(1＋\r(3)i,1－\r(3)i)＝eq\f(1＋\r(3)i2,1－\r(3)i1＋\r(3)i)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，∴z＋z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝－1.10．(2023·天津高二检测)已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．【解】(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为eq\r(4＋4＋a2)＝eq\r(20＋8a＋a2).又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2eq\r(5).由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.[能力提升]1．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1 B．2\r(2) \r(3)【解析】∵z(1＋i)＝2i，∴z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,2)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).【答案】C2．设z的共轭复数为eq\x\to(z)，z＝1＋i，z1＝z·eq\x\to(z)，则eq\f(1,\x\to(z))＋eq\f(1,iz1)等于()\f(1,2)＋i \f(1,2)－i\f(1,2) \f(3,2)【解析】由题意得eq\x\to(z)＝1－i，∴z1＝z·eq\x\to(z)＝(1＋i)(1－i)＝2.∴eq\f(1,\x\to(z))＋eq\f(1,iz1)＝eq\f(1,1－i)＋eq\f(1,2i)＝eq\f(1＋i,2)－eq\f(i,2)＝eq\f(1,2).【答案】C3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z－eq\x\to(z)|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－eq\x\to(z)|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|.【解析】对于①，eq\x\to(z)＝x－yi(x，y∈R)，|z－eq\x\to(z)|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，故不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；对于③，|z－eq\x\to(z)|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；对于④，|z|＝eq\r(x2＋y2)≤|x|＋|y|，故正确．【答案】④4．复数z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)，若z2＋eq\f(a,z)<0，求纯虚数a.【解】由z2＋eq\f(a,z)<0可知z2＋eq\f(a,z)是实数且为负数．z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(2i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(3－i,2＋i)＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则z2