高中数学人教A版第一章解三角形正弦定理和余弦定理 名师获奖

正余弦定理考点分析及例题讲解考点回顾：直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。。（R为外接圆半径）正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R的常见变形：sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).三角形面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理的公式：或 .（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）边与角关系：典例解析题型1：正弦定理例1、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝例2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是 ()A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形题型2：余弦定理例1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，则c等于()A．1 B．2\r(3)－1 \r(3)解析由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1＋c2－3,2×1×c)，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．巩固练习：1、在△ABC中，(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋eq\r(2)ab，则C＝_______.(4)在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()\r(3) B．3\r(5) D．52、在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于 ()A．60° B．45°或135°C．120° D．30°题型3：正弦、余弦定理求角度例1、(2023·湖南·文5)在锐角△ABC中,角A、B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于().3、在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，则角C等于 ()A．30° B．120° C．60°D．150°4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．2．解(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4)，0<∠C<π，∴sinC＝eq\f(\r(10),4).(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－eq\f(1,4)及0<∠C<π，得cosC＝±eq\f(\r(6),4).由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±eq\r(6)b－12＝0(b>0)，解得b＝eq\r(6)或2eq\r(6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(6)，,c＝4.))题型2：三角形面积例1、在△ABC中，a＝10，b＝8，C＝30°，则△ABC的面积S＝.例2、在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，则△ABC外接圆的面积是________．例3、在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．题型3：正、余弦定理判断三角形形状判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例1、在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．例2、在中，已知，那么一定是（）直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形1、在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．解由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．2、在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3、已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°解析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∴∠C＝120°.5、在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.6、在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则cosC＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).∴C＝120°.∴最小外角为60°.7、△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝eq\r(2)a，则()A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝eq\r(2)a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.9、如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定解析：设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．10、在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11、在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.12、在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，则边长c的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)，＋∞))B．(10，＋∞)C．(0,10)\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,3)))解析∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(40,3)，∴c＝eq\f(40,3)sinC.∴0<c≤eq\f(40,3).13、在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.14、在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶615、已知三角形面积为eq\f(1,4)，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为()A．1B．2\f(1,2)D．4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1，由S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(abc,4)＝eq\f(1,4)，∴abc＝1.在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.解析∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).17、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝1，则c＝________.解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2)，故B＝30°或150°.由a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.18、在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.19、在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.解析eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),\f(\r(3),2))＝12.∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6eq\r(3)×12sinC＝18eq\r(3)，∴sinC＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝12，∴c＝6.20、在△ABC中，求证：eq\f(a－ccosB,b－ccosA)＝eq\f(sinB,sinA).证明因为在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，所以左边＝eq\f(2RsinA－2RsinCcosB,2RsinB－2RsinCcosA)＝eq\f(sinB＋C－sinCcosB,sinA＋C－sinCcosA)＝eq\f(sinBcosC,sinAcosC)＝eq\f(sinB,sinA)＝右边．所以等式成立，即eq\f(a