高中数学苏教版第一章立体几何初步 章末过关检测卷(一)

章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A．n⊥β B．n∥β或n⊂βC．n⊥α D．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．答案：D4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．答案：B5．(2023·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8cm3 B．12cm3\f(32,3)cm3 \f(40,3)cm3解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝eq\f(32,3)(cm3)．答案：C6．(2023·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝2＋2eq\r(5).答案：C7．(2023·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1B．2C．4D．8解析：由题意知，2r·2r＋eq\f(1,2)·2πr·2r＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.答案：B8．(2023·广东卷)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于3解析：当n＝3时显然成立，故排除A、B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立．答案：C9．如左下图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度\f(500π,3)cm3 \f(866π,3)cm3\f(1372π,3)cm3 \f(2048π,3)cm3解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．答案：A10.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A-MNCB的体积为()\f(3,2)\f(\r(3),2)\r(3)D．3解析：如图所示，作出二面角A-MNB的平面角∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A-MNCB的高．由题意，得AO＝eq\f(\r(3),2).V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝eq\f(3,2).答案：A11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为()A．13\r(151)C．12eq\r(3)D．15答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥O-ABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h，则eq\f(1,3)×(eq\r(3))2h＝eq\f(3\r(2),2)，解得高h＝eq\f(3\r(2),2).底面正方形的对角线长为eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，所以OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\r(6)，所以球的表面积为4π(eq\r(6))2＝24π.答案：24π14．(2023·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC，由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝eq\r(2)，所以最长的棱为PC，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)15．(2023·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为eq\f(1,3)π·52×4＋π·22×8＝eq\f(196π,3).设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则eq\f(1,3)π·r2·4＋π·r2×8＝eq\f(28π,3)r2＝eq\f(196π,3)，解得r＝eq\r(7).答案：eq\r(7)16．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，所以eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1)，又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)(2023·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱锥P-ABD的体积V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解：由V＝eq\f(1,6)PA·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB，又V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝eq\f(\r(13),2)，所以AH＝eq\f(PA·AB,PB)＝eq\f(3\r(13),13).所以A到平面PBC的距离为eq\f(3\r(13),13).18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．(1)证明：如图所示，连接BD，AC交于点O.因为PB＝PD，所以PO⊥BD.又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.而AC∩PO＝O，所以BD⊥面PAC.所以BD⊥PC.(2)解：由(1)知BD⊥面PAC.由已知得BD＝2，AC＝2eq\r(3)，PO＝eq\r(3).所以S△PEC＝eq\f(1,2)S△PAC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).所以VP-BCE＝VB-PEC＝eq\f(1,3)·S△PEC·BO＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(1,2).19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，则eq\f(120,360)πl2＝3π，l＝3；eq\f(2π,3)×3＝2πr，r＝1；S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π·12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图；(2)求它的体积．解：(1)几何体的直观图如图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2)(m3)．21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝eq\r(3)，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)求三棱锥E-PAD的体积；(2)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.(1)解：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，所以三棱锥E-PAD的体积为V＝eq\f(1,3)S△PAD·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),6).(2)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．因为在△PBC中，E，F分别为BC，PB的中点，所以EF∥PC.又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.(3)证明：因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以EB⊥PA.因为EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，所以EB⊥平面PAB.又因为AF⊂平面PAB，所以AF⊥BE.因为PA＝AB＝1，点F是PB的中点，所以AF⊥PB.因为PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，所以AF⊥平面PBE.因为PE⊂平面PBE，所以AF⊥PE.22．(本小题满分12分)(2023·广东卷)如图①所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按图②方式折叠，折痕EF中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积．(1)证明：如图所示，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因