第四章、参数估计与假设检验

1、大多数汽车事故出在中等速度行驶中，极少的事故时是出在大于150公里/每小时的行驶速度上。这是否意味着高速行驶比较安全？2、在亚利桑那州死于肺结核的人比其他州多。这是否意味着亚利桑那州的气候容易使人患肺结核？3、常常听说，汽车事故多发生在离家不远的地方，这是否意味着在离家很远的公路上行驶要比在城里安全呢？4、注重口味的人，想来应该是喜欢现煮咖啡超过即溶咖啡的。一位持怀疑态度的人断言：喝咖啡的人里，只有一半偏好现煮咖啡。为证明此结论，让全部50个受试对象都品尝两杯没有做记号的咖啡，并且要说出喜欢哪一杯。两杯中一杯为先煮咖啡，一杯为即溶咖啡，实验结果表明50位受试对象中，有36位选现煮咖啡。这是否意味着有72%的人喜欢现煮咖啡，或超过一半的人喜欢现煮咖啡。以上结论的正确与否均需要通过统计检验来证明，本章讨论的内容就是如何利用样本信息，对统计结论正确与否作出判断的程序。案例分析本章重难点（1）掌握参数估计的基本原理（2）了解参数估计量好坏的评价标准（3）掌握参数估计的一般方法（4）了解假设检验的基本思想（5）掌握各种条件下检验统计量的构建（6）掌握列联表分析的原理和应用第四章参数估计与假设检验管理科学与工程学院工业工程系刘志平点估计是根据样本资料给出总体参数的单一估计值，直接以样本估计量作为相应总体参数的估计值的一种参数估计方法。点估计的优点是比较简便，而且进行点估计时无需知道总体分布。点估计的缺点是通过此方法所得的估计值与真值之间的偏差以及估计的可靠性均未知。4.1点估计

样本统计量是一个随机变量，不同的样本会得到不同的估计量。为了保证用于估计总体指标估计量的准确可靠，需要通过一些标准来衡量所求的估计量是否为优良估计量。常用的标准主要有无偏性、有效性和相合性等。4.1点估计

估计量的数学期望等于被估计的总体指标，就称该估计量为无偏估计量。设总体指标为

，其估计量为，如果有：

则

就是

的无偏估计量。是

的无偏估计量；

是

的无偏估计量。4.1点估计（无偏性）

设都是参数的无偏估计量，若

则称估计量比有效。设是的估计量，当n趋近于无穷大时，对于任意的ε＞0，有

则称是的一致估计量。4.1点估计（有效性和相合性）

区间估计就是根据样本估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围。设总体参数为θ，为样本确定的两个统计量，对于给定的α，有：则称为参数θ的置信度为1-α得置信区间。1-α为置信度，表示区间估计的可靠程度，即以1-α的可能性包含未知总体参数的区间为4.2区间估计

大样本情形下总体均值的区间估计

当样本容量足够大，样本均值使用正态分布统计量

进行估计，在1－的概率保证度下，总体均值的置信区间为：4.2区间估计（总体均值的区间估计）

4.2区间估计（总体均值的区间估计）

置信下限为置信上限为：这表明在95％的概率保证下，可认为该地区居民的平均年收入在5572.00元至5627.99元之间。4.2区间估计（总体均值的区间估计）

小样本情形下正态总体均值的区间估计

（1）正态总体、方差已知当样本容量足够大，样本均值使用正态分布统计量

进行估计，由于已知，在1－的概率保证度下，总体均值的置信区间为：4.2区间估计（总体均值的区间估计）

小样本情形下正态总体均值的区间估计（2）正态总体、方差未知当方差是未知时，则采用修正样本方差。若总体服从正态分布，可构造t统计量，即

根据t分布的原理，在1-α的置信度下，可知总体均值μ的置信区间为：4.2区间估计（总体均值的区间估计）

例某仓库有150箱食品，每箱食品均装100个，随机抽取10箱进行检查，得每箱食品的变质个数为：1，6，3，0，2，4，1，5，3，5，假定每箱食品变质个数的概率分布为正态分布，给定置信概率95％，求平均每箱食品变质个数的双侧置信区间。解：由于n=10，为小样本，方差未知4.2区间估计（总体均值的区间估计）

4.2区间估计（总体均值的区间估计）

大样本情形下，样本比例

经标准化变换可得给定的置信度1－，可得大样本情形下总体比例的置信区间为：4.2区间估计（总体比例的区间估计）

4.2区间估计（总体比例的区间估计）

4.2区间估计（总体比例的区间估计）

什么是假设检验?(hypothesistest)先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的统计方法有参数检验和非参数检验逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理小概率是在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设4.3假设检验19步骤建立假设，确定检验水准确定P值计算检验统计量作推断结论拒绝H0，接受H1，认为差异有统计学意义P≤αP>α不拒绝H0，认为差异无统计学意义1、.假设检验的步骤第一步如何提出假设？什么是假设?

(hypothesis)在参数检验中，对总体参数的具体数值所作的陈述就一个总体而言，总体参数包括总体均值、比例、方差等分析之前必需陈述原假设

(nullhypothesis)又称“0假设”，研究者想收集证据予以反对的假设，用H0表示所表达的含义总是指参数没有变化或变量之间没有关系

最初被假设是成立的，之后根据样本数据确定是否有足够的证据拒绝它总是有符号=,<=

或>=H0：

m

=某一数值H0：

m

某一数值H0：m

某一数值也称“研究假设”,研究者想收集证据予以支持的假设，用H1或Ha表示所表达的含义是总体参数发生了变化或变量之间有某种关系备择假设通常用于表达研究者自己倾向于支持的看法，然后就是想办法收集证据拒绝原假设，以支持备择假设

总是有符号

,

或H1：:m

≠某一数值H1：m

>某一数值H1：m

<某一数值备择假设(alternativehypothesis)备择假设没有特定的方向性，并含有符号“”的假设检验，称为双侧检验或双尾检验(two-tailedtest)备择假设具有特定的方向性，并含有符号“>”或“<”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailedtest)备择假设的方向为“<”，称为左侧检验

备择假设的方向为“>”，称为右侧检验

双侧检验与单侧检验双侧检验与单侧检验

(假设的形式)假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0备择假设H1:m

≠m0H1:m

<m0H1:m

>m0【例】一种零件的生产标准是直径应为10cm，为对生产过程进行控制，质量监测人员定期对一台加工机床检查，确定这台机床生产的零件是否符合标准要求。如果零件的平均直径大于或小于10cm，则表明生产过程不正常，必须进行调整。试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和被择假设如何设定假设(例题分析)解：研究者想收集证据予以证明的假设应该是“生产过程不正常”。建立的原假设和备择假设为

H0：

10cmH1：

10cm【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设如何设定假设(例题分析)解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述。建立的原假设和备择假设为

H0：

500H1：

<500【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设如何设定假设(例题分析)解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比例超过30%”。建立的原假设和备择假设为

H0：

30%H1：

30%根据样本观测结果计算出对原假设和备择假设做出决策某个样本统计量对样本估计量的标准化结果原假设H0为真点估计量的抽样分布检验统计量(teststatistic)

标准化的检验统计量用统计量决策

(双侧检验)抽样分布H0临界值临界值a/2a/2拒绝H0拒绝H01-置信水平RegionofRejectionRegionofNonrejectionRegionofRejection用统计量决策

(左侧检验)抽样分布H0临界值a拒绝H01-置信水平RegionofRejectionRegionofNonrejection用统计量决策

(右侧检验)抽样分布H0临界值2拒绝H01-置信水平RegionofNonrejectionRegionofRejection用P值决策

(P-value)如果原假设为真，所得到的样本结果会像实际观测结果那么极端或更极端的概率P值告诉我们：如果原假设是正确的话，我们得到得到目前这个样本数据的可能性有多大，如果这个可能性很小，就应该拒绝原假设被称为观察到的(或实测的)显著性水平决策规则：若p值<,拒绝H0双侧检验的P值/

2/

2Z拒绝H0拒绝H00临界值计算出的样本统计量计算出的样本统计量临界值1/2P值1/2P值左侧检验的P值Z拒绝H00临界值计算出的样本统计量1/2P值右侧检验的P值Z拒绝H00计算出的样本统计量临界值1/2P值4.4总体参数检验5.2.1单一总体均值的检验1、大样本情形下总体均值的检验2、小样本情形下正态总体均值的t检验总体均值的检验

(大样本)1.假定条件：大样本(n30)使用z检验统计量方差已知：方差未知：大样本（例题）以往调查表明某市人均居住面积为8.6平方米,现从该市中随机抽取500人,调查并计算得平均居住面积为8.8平方米,标准差为1.5平方米,问在0.01的显著性水平下,能否认为该市人均居住面积有所增大?根据题意可建立原假设和备择假设如下:总体均值的检验

(小样本)1.假定条件总体服从正态分布小样本(n<

30)检验统计量方差已知方差未知小样本例题

例4.2某公司用自动装袋机将一批食用盐装袋，在正常情况下，平均每袋的重量为500克，从某天所包装的食用盐中随机抽取了10袋，测得每袋的重量（克）为：495，501，502，495，500，497，498，503，502，499，问在0.05的显著性水平下，从所装食用盐的平均重量来看装袋机运行是否正常？

根据题意可建立原假设和备择假设如下：

4.4

两总体参数检验两总体均值比较的检验1、独立样本均值的检验2、配对样本均值的检验

1、两总体均值的检验1、独立样本均值的检验2008年8月两个总体均值比较的检验

(独立大样本)1.假定条件两个样本是独立的随机样本正态总体或非正态总体大样本(n130和n230)检验统计量，已知：

未知：两个总体均值之差的检验

(独立小样本：已知)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布已知检验统计量2008年8月两个总体均值之差的检验

(独立小样本：未知但相等)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布12、22未知但相等，即12=22检验统计量其中：自由度：

2、两总体均值比较的检验

例5.3为了研究男女性别消费支出的差异，从中某高校三年级学生中分别随机抽取20人调查，调查并计算得，男生平均每月生活费支出为880元，标准差为60元，女生平均每月生活费支出为820元，标准差为54元，已知平均每月生活费支出均服从正态分布，且方差相等，给定显著性水平0.05，能否认为男女生平均每月生活消费支出有显著差异？

根据题意可建立原假设和备择假设如下：应拒绝原假设，即认为男女性别不同,平均每月生活消费支出也有差异。

两总体均值的检验1、配对样本均值的检验如果比较的样本有配对关系,就需要进行配对样本的T检验,如同一组工作人员,在进行某种技能培训前后,测量其工作效率,培训前后的测量数据构成配对样本，在检验培训是否起作用时，就需进行配对样本的T检验。两个总体均值之差的检验

(配对样本)假定条件两个总体配对差值构成的总体服从正态分布配对差是由差值总体中随机抽取的

数据配对或匹配(重复测量(前/后))检验统计量样本差值均值样本差值标准差

总体参数检验

例5.4某企业为研究广告对销量的影响，选取了12个地区，分别收集了广告发布前后的周销量（件）。问广告的发布对销量是否有显著影响?根据题意可计算原假设和被择假设：

匹配样本

(数据形式)

观察序号样本1样本2差值1x11x21d1=x11-x212x12x22d2=x12-x22MMMMix1ix2idi

=x1i

-x2iMMMMnx1nx2ndn

=x1n-x2n

总体参数检验

地区编号广告前销量广告后销量差值d15560525558334748143842453032266865-3716204850533923285103634-21125272122322-1配对样本调查表

几种常见的假设检验总体均值的检验条件检验条件量拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μz0z0正态总体σ2已知总体均值的检验条件检验条件量拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μz0z00非正态总体n≥30σ2已知或未知总体均值的检验条件检验条件量拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

t(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μt0t00正态总体σ2未知(n＜30)两个总体均值之差的检验条件检验条件量拒绝域H0、H1(