四升五年级奥数教案

第一讲探寻规律解决问题知识引领•探寻给定事物中隐含的规律，在分析、猜想、归纳中寻求最佳的解决问题的策略.经典题例•例1如下表，表格中的数是按一定规律排列的，按此规律在空格处填上相应的数.解析观察规律5X2—3=7,7X211解析观察规律5X2—3=7,7X2111935行—3=11,11X2—3=19,19X2—3=35,…，得出规律为an+1=2an—3,这样空格处的数应为35X2—3=67,67X2—3=131.例2如图，填在图中三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，填出BC,然后确定A,那么A是几？解析观察前面两个任方形内有3<2®续2自然数，那的三3解析观察前面两个任方形内有3<2®续2自然数，那的三3正方形也有这样的规律，所以，B=4,又发现前面两+4)=35.例3计算：+4+3—2—1C=5.3不正方形内左是右下角的数乘以另两数和的积，则A=5X(32000十1999—1998—1997+1996+1995—1994—19934•+8+7—6—5解析算式中共有2000个数相加减，规律是两加两减，根据算式和数的特征，正好把这2000年数按照每4个数(两加两减)分为一组，共可分为2000+4=500(组),每组的得数都是4,所以，原式的结果为500个4之和.例4自然数1,2,3,4,…排成下面的数阵：第一行第二行

第三行

第四行135第一行第二行

第三行

第四行13572468357946810那么48排在数阵的第几行？左起第几个位置？解析观察这个数阵中的排列规律知：①每行的第2列数都是偶数，并且是每行序数的2倍；②每行的4个数是4个连续自然数从小到大排列的；③除2以外，其他偶数出现2次.那么48会在2个位置出现，由48+2=24,即48可能在24行左起第2个位置，也可能在第23行左起第4个位置.例5如图，按照图中排列的规律，问：第11行最左边的数是几？解析观察图中排列的规律，彳多出R4一行最右边的是为“分数，恰好是行数X行数.第10行最右边数是10X1引飞2038g9匕，第11行最第3是100+1=101.应用与探究• 10111213141516第4行1.24,21,18,15,(12),(9).2.2,17,4,14,6,11,(8),(8).

3.下面方格内都有一个数字，并且相邻两格内的数相加，和都是14,这八个数的和是多少？第四个方格内应该填的数字是几？ (8X4+6X4=56)4.细菌第一个小时繁殖2个细菌，第二个小时繁殖3个细菌，第三个小时繁殖6个细菌,第四个小时繁殖7个细菌，第五个小时繁殖14个细菌，则第六个小时繁殖多少个细菌?第四个小时繁殖(15个)5.观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：2,6,18,54,(162)6.观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：4,6,10,18,(34).观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：1,6,5,10,9,14,(13),(18). ……第99个图案是什么？(★).观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：1o.观察下面图中外修牝规律26ft空白处20上合适的34组按林颊桃排列13攵到:1,1,2,1,1,2,由左至右第1o.观察下面图中外修牝规律26ft空白处20上合适的34组按林颊桃排列13攵到:1,1,2,1,1,2,由左至右第100个数是几？(1)45r17^30丁27-^7

741824,3,2,1,……42812.如图，一次智力测验，主持人亮出四块长方银牌子;解：1+3+……+17+19=150।在牌子④中，空白处表示的数半破了，经过两分钟还有5个没有破，经过两分半钟肥皂泡全部破了，小华在第 20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有多少个？解:100+50+5=155(个)第二讲速算与巧算・知识引领•在平时的计算过程中，我们可以通过寻求运用定律和性质，进行简算或巧算.而速算与巧算需掌握的常用方法有：分解或合并，利用特殊数，添括号或去括号等等.・经典题例•例1计算：25X96X125解析在计算乘、除法时，我们通常可以运用2X5、4X25、8X125来进行巧妙的计原式二25X4X3X8X125=(25X4)X3X(8X125)

=100X3X1000=300000例2计算：1234+3142+4321+2413解析数字1,2,3,4在个位、十位、百位、千位上均各出现一次.原式=1111+2222+3333+4444=1111X(1+2+3+4)=1111X10=11110例3计算：214X670+7860X67解析本题可以运用“积不变的规律”，即“一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变”的规律求解.原式=214X670+786X=(214+786)X670=10000X67原式=214X670+786X=(214+786)X670=10000X67=670000670=(2140+7860)X67=1000X670=670000例4用简便方法计算：99999X77778+33333X66666解析33333X66666=33333X3X22222=99999X22222原式=99999X77778+33333X3义22222=99999X(77778+22222)=99999X100000例5计算：3+(5+7)+(7+11)+(11+15)解析观察发现，算式中每个括号里的除数都是下一个括号里的被除数， 根据运算性质a+(b+c)=a+bxc,计算时可以消去括号.原式=3+5X7+7X11+11X15=3+5X15=3X15+5=9例6从1起，把奇数依次加起来，1+3+5+7+9+…一直加到第100个奇数，和是多少？解析你能从下图中找到巧妙的计算方法吗？+3+5+7+9=5X5=25因为33=2X2^4±3+5=3^3,J+3+5+7=4X4,…所以400个连续奇数倾口得100X业0-10000解法一第100个奇数是2X100—1=1991+3+5+7+---+199=100X100=10000解法二原式=(1+199)X100+2=10000・应用与探究•.(2002+2002)X5 (20020).4500+(25X90) (2).1+(11X111)—1111 (111).2-4+6-8+10-12+•••+1998—2000+2002 (1002).2+22+222+2222+22222 (24690).33333X666.1440X572+288 (2860).327X280+6730X28 (280000)TOC\o"1-5"\h\z.8+7+9+7+11+7 (4)0.2999+999X9999 (9992000).1—2+3—4+5—6+-+99—100+101 (51)12.(48X75X81)+(24X25X27) (18)1+(2+3)+(3+4)+(4+5)+(5+6) (3)第三讲应用题解法探索（假设法）・知识引领•利用题目已知条件与所求目标，分析、收集、整理题目中已有信息，探索假设某种数量关系的存在，寻求解决问题的突破口．・经典题例•例1有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过 60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？解析假设任意三袋糖块的数量分别为20块、20块、21块，那么另一袋至少也有 21块．因为另一袋若小于21块，那么任意三袋的和就不能超过 60块．因此，这四袋糖块的总和至少有20+20+21+21=82（块）.答：这四袋糖块的总和至少有 82块．例2小宇去游山，他从东坡上山，每小时行 2千米，到山顶玩 1小时，又从西坡下山，每小时行 3千米，全程共行 19千米，共用9小时．求上山、下山的路各几千米？解析由于小宇在山顶上玩 1小时，所以他上、下山的时间共 8小时．假设 8小时都是上山，走了2X8=16（千米），比实际少（19—16）=3（千米）.因此，下山走3+（3—2）=3（小时），下山路有3X3=9（千米），上山路有19—9=10（千米）.答：上山路有9千米，下山路有 10千米．例3某次数学竞赛共 20道题，评分标准是：每做对一题得 5分，每做错或不做一题扣1分．小刚参加了这次竞赛，得了82分．问：小刚做对了几道题？解析做错或不做一题应少得5+1=6（分）.假设20道题全做对了，应得5X20=100（分），比实际多了（100—82）=18（分），做错了18+6=3（道），做对了（20—3）=17（道）．答：小刚做对了17道题．例4箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只．每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里还剩下 3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少只？解析假如每次取的红球是白球的 3倍：3X7=21（只），那么剩下的红球应是剩下白球的3倍多2,即3X3+2=11（只）,比现在少53—11=42（只）,这是由于每次多取21—15=6（只）红球，所以共取了 42+6=7（次），红球比白球多（15-7）X7+53—3=106（只）答：箱子里原有红球比白球多106只．例5抗日战争期间，一支敌后武工队为了更灵活有效地打击敌人，把 68人分成了14个战斗小组，这些小组有的3人，有的5人，有的7人，而3人和5人小组的组数相同．问：三种战斗小组各有几组？解析由于3人组和5人组的组数相同，我们可以看成这些组里平均每组 4人．这样我们就可以把分组情况分成两类：4人组和7人组．4人组的组数为：（7X14—68）+（7—4）=10（组）于是，3人组与5人组各有10+2=5（组），7人组有14—10=4（组）.答：3人组和5人组各有5组，7人组有4组．・应用与探究•.从0~9这10个数字中选择合适的数字填入以下方框，使等式成立，被选取的数字不能重复使用．□□□+□□□=666（127+539=666,不止一个答案）.实验小学四年级某次数学竞赛共有 20道题，规定：答对1题彳43分，答错1题扣1分，未答的题不计分．考试结束后，东东得了41分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是奇数个．请你帮助东东计算一下，他答错了几道题？（4道）未答有几题？（1道）.有一堆糖果，把它们5等分后还剩5颗，取其中的3份再4等分后还剩3颗，再取其中的2份5等分后还剩2颗．问：这堆糖果至少有多少颗？（50颗）.四（1）班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动.象棋要2人下一副，飞行棋要 4人下一副，则飞行棋和象棋各有几副？解：飞行棋：（40—28）+（4—2）=6（副），象棋：14—6=8（副）..暑期到了，四（1）班同学可以从本班图书角借图书，如果每个小组借5本，则最后少4本；如果前2个小组每个小组借 15本，余下每个小组借 2本，这些图书恰好借完．则共有图书多少本？解：［（15—2）X2+4］+（5—2）=10（组），5X10—4=46（本）..100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组.问：高、低年级学生各有多少人？解：高年级：［（41X3—100）+（3—2）］X2=46（人），低年级：100—46=54（人）..甲、乙两人中有一个人来自真话村，另一个人来自谎话村，谎话村里的人从来不说真话，真话村里的人从来不说谎话．甲说：“我们两人中至少有一个人在说谎．”谁来自真话村？（甲）谁来自谎话村？（乙）.四（1）班的同学集体去公园划船，如果每条船坐 10人，那么多出5个座位；如果每条船少坐1人，那么正好坐满．共需几条船？解：5+（10—9）=5（条）.甲、乙、丙三人摘苹果，共摘121千克.甲比乙多摘12千克，丙比乙少摘8千克.甲、乙、丙三人各摘苹果多少千克？解：乙：（121—12+8）+3=39（千克），甲：39+12=51（千克），丙：39—8=31（千克）．0.小明和小英共有图书45本，小英比小明少3本.两人各有图书多少本？解：小英：（45—3）+2=21（本），小明：45—21=24（本）..实验小学录取一年级新生104人，分成甲、乙两个班，如果从甲班转2个学生到乙班，两班学生人数就一样．问：甲、乙两班原有学生各多少人？解：乙：（104—2X2）+2=50（人），甲：104—50=54（人）.12.一个书架分上、下两层，共放有图书 34本.如果从上层取出8本图书放入下层，那么下层就比上层多2本．问：原来上、下两层各有图书多少本？解：8X2—2=14（本），下层：（34—14）+2=10（本），上层：34—10=24（本）.13.实验小学四年级学生共植树108棵，一班比二班多植树11棵，三班比二班少植树5棵．这三个班各植树多少棵？解：二班：（108—11+5）+3=34（棵），一班：34+11=45（棵），三班：34-5=29第四讲应用题解法探索（平均法）・知识引领•在日常生活中，我们会经常遇见关于解决平均数的问题．这类问题的解决，一定要掌握涉及这类问题中的总数、份数和平均数三者之间的关系．・经典题例•例1实验小学有 28位女教师，平均年龄 35岁，有4位男教师，平均年龄 27岁．这些教师平均年龄是多少岁？解析要求平均年龄，先要求出所有教师的年龄总和：女教师的年龄和＋男教师的年龄和，再用年龄总和除以所有教师的人数．（35X28+27X4）+（28+4）=34（岁）答：这些老师的平均年龄是 34岁．例2小云爬山，从山脚出发，上山路长 18千米，每小时行 3千米．到山顶后沿原路下山，每小时行 6千米．问小云上山、下山的平均速度是多少？解析注意不可以用（上山速度+下山速度）+2,正确的平均速度应该等于总路程+总时间．总路=18X2=36（千米），总时间=18+3+18+6=9（小时）平均速度=36+9=4（千米/小时）答：小云上山、下山的平均速度是 4千米/小时．例3某次考试，张、王、李、陈四人的成绩统计如下：TOC\o"1-5"\h\z张、王、李平均 91分，王、李、陈平均 89分张、陈平均 95分．问：张得了多少分？解析先求出四个人的总分再减去其余三个人的总分，就是张的成绩．四人的总成绩为[（91+89）X3+95X2]+2=365（分）所以张的成绩为365—89X3=98（分）答：张得了98分．例4暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离做了记录．如果他在暑假最后一天游670米，则平均每天游 495米；如果最后一天游 778米，则平均每天游 498米．如果他想平均每天游 500米，那么最后一天应游多少米？解析 因为平均每天所游的距离提高 498—495=3（米），需要多游778—670=108（米）,所以暑假一共有108+3=36（天）.如果平均每天游500米，则要在最后一天游（500—498）X36+778=850（米）.答：最后一天应游 850米．例5有两组数，第一组16个数的和是 98，第二组的平均数是 11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有多少个数？解析第二组有（16X8—98）+（11—8）=10（个）答：第二组有 10个数．例6每次考试满分是 100分，小明4次考试的平均成绩是 89分，为了使平均成绩尽快达到94分（或更多），他至少要再考几次？解析小明一共还差（94—89）X4=20（分）.为了尽快使平均分达到94分，每次考试应尽可能都是满分，这样每次考试可多余 100—94=6（分）.由于20+6=3……2,说明至少还要考3+1=4（次）.答：他至少要再考 4次．・应用与探究•.一个同学的语文成绩是85分，数学成绩是93分，体育成绩是92分，则他三门学科的平均成绩是多少分？解：（85+93+92）+3=90（分）.植树节10个好朋友去植树，种两棵树的有2人，种三棵树的有3人，种四棵树的有2人，种五棵树的有 1人，种七棵树的有 2人．那么平均每人种了几棵树？解：（2X2+3X3+4X2+5X1+7X2）+（2+3+2+1+2）=4（棵）.小明语文、数学、音乐、体育四科成绩的平均分是 92.5分，若已知语文、音乐、体育的成绩分别为 96、95、80，那么小明的数学成绩是多少分？解：92.5X4-96-95—80=99（分）.三个数的平均数是120,加上一个数后，四个数的平均数是115,加上的数是多少？解：115X4-120X3=100.30人组成的老年学习班中，老爷爷的平均年龄是70岁，老奶奶的平均年龄是75岁.若老爷爷与老奶奶的人数相同，则他们的平均年龄是多少岁？若老爷爷是 12位，则平均年龄是多少岁？解：（70+75）+2=72.5（岁） （70 X12+75X18）+30=73（岁）.一辆汽车越过一个土丘，上坡的距离是60千米，上坡的距离是下坡距离的一半，上坡速度为30千米/小时，下坡速度是 40千米/小时，那么上、下坡平均速度是多少？解：（60+120）+（60+30+120+40）=36（千米/小时）.已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是 10,甲、乙的平均数是8,求丙、丁两数的平均数．解：（10X4—8X2）+2=12.有5个数的平均数是20,如果把其中一个数改成4,这时候5个数的平均数是18.问：改动的数原来是多少？解：20X5-18X5+4=14.有7个数，它们的平均数是18.去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19;再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是 20．求：去掉的两个数分别是多少？解：18X7-19X6=12,19X6—20X5=140.原来四人小组的平均分是70分，加入一人后，平均成绩提高了2分，新加入的同学成绩是多少分？解：2X5+70=80（分）.已知A、B、C、DE五个数，前三个数的平均数是12,后三个数的平均数是9,中间三个数的平均数是10,那么首、尾、中间三个数（即ACE）的平均数是多少？解：因为A+B+C=12X3=36,C+计E=9X3=27,B+C+D=10X3=30,所以A+2B+3C+2D+E=93,A+C+E=93-2（B+C+D）=93—2X30=33,即ACE平均数为33+3=11.12.有7个数排成一列，它们的平均数是32,前3个数的平均数是28,后5个数的平均数是 33．求第三个数是多少？解：33X5+28X3-32X7=25第五讲年龄问题・知识引领•解年龄问题往往是和差问题、和倍问题、差倍问题的综合应用，解题分析时，一定要抓住其年龄差在几年前或几年后是不变的这个关键．・经典题例•例1小勇比妈妈小 24岁，妈妈现在的年龄正好是小勇的3倍，妈妈和小勇现在分别是多少岁？解析题目中第一个条件是年龄差且年龄差是不变的，那么只要找到倍数差，就可以求出两人的年龄了．而“妈妈的年龄是小勇的3倍”这个条件告诉我们，把小勇的年龄看作1倍，妈妈的年龄则为3倍，他们年龄的倍数差为3—1=2倍，所以用年龄差一倍数差就可以求出两人的年龄分别是几岁了．小勇的年龄：24+（3—1）=24+2=12（岁）妈妈的年龄：12X3=36（岁）答：小勇现在12岁，妈妈现在 36岁．例2王刚今年9岁，李英今年 13岁，当两人的年龄和是 40岁的时候，王刚和李英分别是多少岁？解析题目中分别告诉我们王刚和李英的年龄，那么我们就可知王刚和李英的年龄差为13—9=4（岁）.而当他们两人年龄和为40岁时，两人的年龄差还是4岁.这时我们可以用和差问题的方法，来求出两人的年龄．李英：［40+（13-9）］+2=22（岁）王刚：40—22=18（岁）答：王刚18岁，李英22岁．例3盛爷爷有三个孙子，大孙子 22岁，二孙子 20岁，小孙子 15岁．25年以后，三个孙子的年龄之和比盛爷爷那时年龄的2倍还少60岁，问盛爷爷今年多少岁？解析25年后，三个孙子的年龄和应为：22+20+15+25X3=132而那时，盛爷爷的年龄为：（132+60）+2=96（岁）所以盛爷爷现在的年龄为：96—25=71（岁）答：盛爷爷今年 71岁．例4小鲸鱼对大鲸鱼说：“妈妈，我到您这么大时，您就 31岁啦！”大鲸鱼对小鲸鱼说：“我像你这么大时，你才只有 1岁呢．”问：小鲸鱼和大鲸鱼现在各多少岁？解析从小鲸鱼的话中可知，大鲸鱼的年龄+ （大、小鲸鱼的年龄差）=31;从大鲸鱼的话可知，小鲸鱼的年龄—（大、小鲸鱼的年龄差）=1.因此小鲸鱼从 1岁开始，再加上大、小鲸鱼的年龄差就成为小鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为大鲸鱼现在的年龄， 再增加一个年龄差就成为31岁了，所以（31—1）就是3个年龄差．求出了年龄差，再求大、小鲸鱼的年龄也就不难了．小鲸鱼：（31—1）+3+1=11（岁）大鲸鱼：11+（31—1）+3=21（岁）答：小鲸鱼现在 11岁，大鲸鱼现在 21岁．例5甲的年龄比乙的年龄的4倍少 3．甲 3年后的年龄等于乙9年后的年龄．问：甲、乙现在各多少岁？解析“甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄”表明甲比乙大 6岁．甲如果再增加 3岁，那么就是乙的年龄的4倍．问题化为“差倍问题”．年龄差：9—3=6（岁）乙的年龄：（6+3）+（4—1）=3（岁）甲的年龄：6+3=9（岁）答：甲现在9岁，乙现在 3岁．・应用与探究•.爸爸和妈妈的年龄和是69岁，十年后，爸爸比妈妈大3岁，那么爸爸现在多少岁？解：（69+3）+2=36（岁）.哥哥今年15岁，弟弟今年11岁，当兄弟俩岁数的和是100岁时，哥哥和弟弟分别多少岁？解：哥哥：［100+（15—11）］+2=52（岁）；弟弟：52—4=48（岁）.儿子与妈妈今年的年龄之和是42岁，6年前妈妈的年龄是儿子年龄的9倍，妈妈今年多少岁？解：儿子：（42—6X2）+（1+9）=3（岁）； 妈妈：3X9+6=33（岁）.父亲与弟弟的年龄和是58岁，父亲比哥哥大23岁，哥哥比弟弟大5岁，那三人的平均年龄是多少岁？解：父亲：（58+23+5）+2=43（岁）；弟弟：58—43=15（岁）； 哥哥：15+5=20（岁）平均年龄：（43+15+20）+3=26（岁）.爸爸今年35岁，儿子今年11岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？解：5倍时儿子：（35—11）+（5—1）=6（岁）；11—6=5（年）.哥哥5年前的年龄等于妹妹3年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁，求哥哥、妹妹今年分别多少岁？解：哥哥：（35—4+3+8）+2=21（岁）；妹妹：21—8=13（岁）.江叔叔对小明说：“我15年前的岁数和你6年后岁数相同，7年前，我的年龄是你的年龄的8倍．”那么江叔叔今年多少岁？解：7年前小明：（15+6）+（8—1）=3（岁）；今年江叔叔：3X8+7=31（岁）.小丽今年12岁，4年前妈妈的年龄是小丽的4倍，几年后妈妈白年龄是小丽的2倍？解：4年前妈妈：（12—4）X4=32（岁）；2倍时小丽：（32—8）+（2—1）=24（岁）；24-12=12（年）9.小唐5年前的年龄等于小勇7年后的年龄，小唐4年后与小勇3年前的年龄和是35岁，小勇今年多少岁？解：小唐：（35—4+3+12）+2=23（岁）； 小勇：23—12=11（岁）0.哥哥对弟弟说：“我像你这么大时，你才只有3岁弟弟对哥哥说：“我像你这么大时，你就 36岁了．”哥哥今年多少岁？解：（36—3）+3=11（岁） 哥哥：36-11=25（岁）第六讲追及与相遇问题・知识引领•追及问题是行程问题中的一个分类，它的特点是两个运动物体行进的方向相同，基本数量关系式：追及路程=速度差x追及时间相遇问题是行程问题中的另一个分类，它的特点是两个运动物体进行的方向相反，要注意的是路程和两个运动物体在同时走、同时停这段时间内所走的路程总和．在相遇问题中，两个物体有时做相向运动，有时做相背运动，但都是运用相同的数量关系式．路程和=速度和X相遇时间・经典题例•例1慢车以每小时 45千米的速度从甲地开往乙地，3小时后快车以每小时 60千米的速度也从甲地开往乙地，问多少小时后快车追上慢车？解析经过3小时，慢车已经走了45X3=135（千米），又知道快车每小时比慢车多行60—45=15（千米）,就可以求出用多少时间可以追上 135千米.（45X3）+（60-45）=9（小时）答：9小时后快车追上慢车．例2两辆汽车运送货物，大卡车以每小时 36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时 48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？解析要求小卡车追上大卡车时离甲地多远，必须先求出追及时间，再用小卡车的速度乘以追及时间就可以了．追及时间为（36X2）+（48—36）=6（小时）距离为48X6=288（千米）答：当小卡车追上大卡车时离甲地 288千米．例3小雯从甲地骑自行车到乙地办事，每小时的速度是 20千米；回来时改骑摩托车，每小时的速度是 40千米，比骑自行车少用2小时．求甲、乙两地的距离是多少千米？解析可以把这个问题看成是一个追及问题．假设 A、B分别是骑摩托车和骑自行车去乙地，B先出发2小时，A在乙地追上B,先求出A行完全程所需要的时间，再求出两地的距离．A从甲地到乙地所需时间为20X2+（40—20）=2（小时）两地的距离为40X2=80（千米）答：甲、乙两地的距离为80千米．例4甲、乙两车分别从相距 800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行 52千米，乙车每小时行 48千米，问：（1）几小时后两车还相距 200千米？（ 2）几小时后两车相遇？（ 3）几小时后两车相遇又相距 400千米？解析（1）这一组题目要注意的是总路程的变化．相距 200千米，说明还有 200千米没有行，在 800千米中必须减掉 200千米．（800—200）+（52+48）=6（小时）（2）两车相遇，说明总路程就是 800千米．800+（52+48）=8（小时）（3）两车相遇又相距 400千米，说明总路程除了800千米外，还必须加上又行的400千米．（800+400）+（52+48）=12（小时）答：（1）6小时后两车还相距 200千米；（2）8小时后两车相遇； （3）12小时后两车又相距400千米．例5甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行 6千米，乙每小时行4千米，在离 A、B两地中点3千米的地方相遇，求 A、B两地的距离是多少千米？解析甲每小时的速度比乙快，因此相遇时甲一定走过中点，乙还没有到终点，那么从出发到相遇，甲多行了 3X2=6（千米），甲比乙每小时多行6—4=2（千米），那么从出发到相遇所用的时间是6+2=3（小时），最后就可以求出A、B两地的距离.相遇时间为（3X2）+（6—4）=3（小时）距离为（6+4）X3=30（千米）答：A、B两地的距离为30千米．例6某小队外出野营活动，队伍长 800米，行进的平均速度是每分钟60米．队伍最前面的联络员用5分钟时间跑到队伍末尾传达命令，联络员每分钟行多少米？解析队伍全长800米，说明联络员与队尾的距离是 800米．他向队尾传达命令，就是联络员和队尾做相向运动，即相遇问题．只要求出联络员与队伍前进的速度和，再减去队伍的前进速度就是联络员的速度．800+5—60=100（米/分钟）答：联络员每分钟行 100米．・应用与探究•.A、B两地相距80米，甲在A地，乙在B地，他们同时同向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，甲追上乙要用多少秒？解：80+（5—3）=40（秒）.小王和小李都在甲地，准备去乙地，小王每分钟行 120米，小李每分钟行150米.小王先行5分钟后，小李才出发，经过多少分钟后小李追上小王？解：120X5+（150—120）=20（分钟）.兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑，它们从同一地点同时出发.乌龟每爬行5米，兔子超过它1圈．当乌龟爬完1圈时，兔子跑了多少圈？解：200+5+1=41（圈）.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，5小时相遇.甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米.求A、B两地相距多少千米？解：（50+60）X5=550（千米）.甲、乙两车从相距480千米的两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米．现要使两车在两地间的中点处相遇，则乙车必须先行多少小时？解：240+60=4（小时）；240+40=6（小时）；6—4=2（小时）.小健和小壮同时从A地出发到B地去，小健骑自行车每分钟行200米，小壮骑摩托车每分钟行700米.行车途中，小壮因修车耽搁了50分钟，这样两人同时到达目的地.求A、B两地相距多少千米？解：追及时间：200X5+（700—200）=20（分钟）；A、B距离：700X20=14000（米）=14（千米）.甲、乙两地相距918千米，A、B两车同时从两地相向而行，6小时相遇.已知A车的速度是B车的2倍，则A车每小时行多少千米？B车每小时行多少千米？解：B:918+6+（1+2）=51（千米/小时）；A:51X2=102（千米/小时）.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出.第一次在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后立即返回；第二次相遇在离 B地55千米处． 求A、B两地相距多少千米？解：75X3—55=170（千米）10.甲、乙两列火车从相距770千米的两地相距相向而行，甲车每小时行41千米，乙车每小时行 45千米，甲车先出发2小时后，乙车才出发．乙车行几小时后与甲车相遇？解：770—41X2=688（千米）；688+（41+45）=8（小时）11.甲、乙两人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行.已知甲骑一圈要 48分钟,出发后32分钟两人相遇．问乙骑一圈要多少分钟？解：48—32=16（分钟）；48-16X32=96（分钟）12.甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，内每分钟走75米.甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行．途中甲与乙相遇后3分钟又与丙相遇．问东、西村的距离是多少米？解：甲、乙相遇时，丙与他们之间的距离： （100+75）X3=525（米）甲、乙相遇时间为：525+（80—75）=105（分钟）东、西村距离为：（100+80）X105=18900（米）第七讲植树问题・知识引领•植树问题是关于全长、株距间隔距离和棵数之间关系的应用题．在解题时，只要知道其中两个量就可以求出第三个量．解决植树问题首先要考虑植树的路线，其次要弄清植树的具体要求．・经典题例•例1圆形溜冰场周长是 400米，每隔20米装一盏灯，再在相邻两盏灯之间放 3盘花，问共需要装几盏灯、放几盆花？解析圆形溜冰场周长400米，按每20米为一段，可以分成 20段，分成的段数就是需要装灯的盏数．同时，因为每段内放 3盆花，所以花的盆数就是段数的3倍．装灯400+20=20（盏）放花3X（400+20）=3X20=60（盆）答：共需要装20盏灯、放60盆花．例2两幢教学大楼相距 100米，现在要在两幢楼房之间每隔10米种一棵树，需要种多少棵？解析两幢教学楼之间相距 100米，按10米为一段，可以分为10段．由于是在两幢房子之间，等于是两端都不需要种树，所以种的棵数比段数少1.需要种树100+10—1=9（棵）.答：需要种9棵树．例3实验小学进行春季运动会入场式，四年级有运动员124人，排成4路纵队，前后每行间隔为2米，主席台长 20米．他们以每分钟40米的速度通过主席台，需要多少分钟？解析这道题目其实是植树问题的变式题，可以用植树问题的思考方式来解决．124名运动员排成 4路纵队（每 4人为一行），可以求出这列队伍共有多少行（相当于种的棵树）．前后间隔2米（相当于每 2棵树之间的距离），这样就可以求出入场式队伍的全长，再用入场队伍的全长加主席台的长度，就是每个运动员通过主席台所走的路程，然后用路程除以运动员行进的速度，可以求出所用的时间．2X（124+4—1）=60（米）（60+20）+40=2（分钟）答：需要2分钟．例4盛爷爷饭后有散步的习惯，一天他以均匀的速度在马路旁散步．从第1棵树走到第13棵树用了12分钟（每棵树之间的距离相等），盛爷爷又向前走了几棵树后就往回走了．当他走到第5棵树时，共用了50分钟，问盛爷爷是走到第几棵树时往回走的？解析盛爷爷从第 1棵树走到第13棵树，就等于走了12个间隔，共用了12分钟，也就是盛爷爷走一个间隔用了1分钟．由于回到第 5棵树时，盛爷爷一共用了50分钟，那么如果盛爷爷回到起点的话，就要再多走4个间隔，多用4分钟．那么盛爷爷走一个来回一共要用54分钟，即一个全程就是27分钟，走了27个间隔．说明一个全程里有 28棵树，也就是盛爷爷走到第28棵树时往回走的．12+03—1）X（50+4）=54（分钟）54+2=27（个）27+1=28（棵）答：盛爷爷是走到第28棵树时往回走的．例5在一根长100厘米的木棍上，由左至右每隔6厘米染一个红点．同时，由右至左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点处将木棍逐级锯开，那么长度是 4厘米的木棍有几根？解析由于5能整除 100，所以每隔 5厘米的红点从右往左染和从左往右染都相同．又由于5与6的最小公倍数是 30，而每30厘米中有2根4厘米的小木棍，那么由100+30=3……10,可知从左至右30X3=90（厘米）的木棍可锯出2X3=6（根）4厘米长的小木棍，余下10厘米还可锯出1根4厘米长的小木棍，所以共有6+1=7（根）.答：长度是4厘米的木棍有 7根．・应用与探究•.在一条路的一边插彩旗，从头到尾一共插了 45面旗，每相邻两面旗之间相距5米，那么这条路长多少米？解：5X（45—1）=220（米）.在一条长42米的街道两边，每隔6米种一棵树（两端各种一棵），一共需要种多少棵树？解：42+6+1=8（棵）；8X2=16（棵）.在一条长100米的小道一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了 26盆，相邻两盆花之间的距离相等，那么相邻两盆花之间相距多少米？解：100+（26—1）=4（米）.在A、B两城安排一班长途车，每隔5千米设一个站，AB两城间共设了9个站，那么A、B两城多少千米？解：5X（9+1）=50（千米）.在一条路的一边每隔8米放一盆花，连两端在内共放了16盆.现在拿走花盆，种植松树，连两端在内共种了 7棵，问相邻两棵松树相距多远？解：8X（16—1）=120（米）；120+（7—1）=20（米）.同学们种树，每6棵树间的总长是10米.照这样计算，种200棵树的距离是多少米？解：10+（6—1）=2（米）；2X（200—1）=398（米）；.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒.已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？解：100X5—210=290（米）；（290+10）+（10+5）=20（辆）.有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成几段？解：180+3=60（段）；180+4=45（段）；180+12=15（段）；60+45—15=90（段）.某班同学在军训队列表演中恰站成一个双层空心方阵，外层的每边站了 9个同学.若让这个班同学在一条 250米长的笔直马路上站岗，从一端开始每隔5米站一人，则站满后还剩下多少人？解：（9X4—4）+（7X4—4）=56（人）；250+5+1=51（人）；56—51=5（人）10.48棵树排成一个正六边形，每条边上的棵数都相等，每条边上有多少棵树？解：（48+6）+6=9（棵）第八讲鸡兔同笼问题・知识引领•解答鸡兔同笼的问题通常是用假设法，首先要对题目中的条件进行分析，找出题目中哪一个量相当于兔，哪一个量相当于鸡，鸡兔的总只数和总脚数各是多少，再根据基本数量关系进行推算，使问题得以解决．它的基本数量关系式是：鸡的只数=（每只兔的脚数x鸡兔总数一实际脚数 ）+（每只兔的脚数一每只鸡的脚数）兔的只数=（实际脚数一每只鸡的脚数X鸡兔总数 ）+（每只兔的脚数一每只鸡的脚当然，这只是一个最基本的模型，真正在解题时还要依据实际的情况去具体分析．・经典题例•例1笼子里鸡和兔共 8只，共有22条腿，鸡、兔各有几只？解析假设8只全是兔，那么共有脚4X8=32（只），这样就比实际多出32—22=10（只）脚.这是因为把鸡当作兔子来算每只多算了4-2=2（只）脚,那么10只脚应该是10+2=5（只）鸡多算的，因此鸡有5只，兔有8—5=3（只）.答：鸡有5只，兔有3只．例2特长学校举行数学竞赛，试题共有 10道，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分．小强得了41分，他做对了多少道题？解析假设小强做对10题，则最终得分为10X8=80（分），比实际得分41分多得39分，这多得的39分是把其中做错的题换成做对的题而得到的．每把一道做错的题换成做对的题，得分就从倒扣5分变成得8分，所以总得分增加了8+5=13（分），所以做错的题为39+13=3（道）.小强做对了10—（10X8—41）+（5+8）=7（道）.答：他做对了7道题．例3老师和学生 100人共种了100棵树，已知老师一个人种4棵，学生4个人种1棵，那么老师和学生各有多少人？分别种了多少棵树？解析假设100人都是老师，那么共种树4X100=400（棵），比实际多种了400-100=300（棵）.为什么多出了300棵呢？这是因为把其中的学生当成老师了， 现在调整回去，每次把4个学生换成4个老师，所种树的棵数就多了4X4—1=15（棵），所以，这多出的300棵树，需要换300+15=20（次），所以换成老师的学生数为4X20=80（人），80名学生共种树80+4=20（棵），老师人数是100—80=20（人）,20名老师共种树20X4=80（棵） ．答：老师有20人，种了80棵树；学生有 80人，种了20棵树．例4买来5元、1元和8角的邮票共 15枚，总价是 30.2元，其中5元和8角的邮票枚数相等，三种邮票各有多少枚？解析假设15枚全部是1元（即10角）的邮票，那么总价应该是10X15=150（角），比实际302角少了302—150=152（角）.由于5元与8角的邮票枚数相等，因此每次可以用1枚5元和1枚8角来换2枚10角的邮票，这样每换一次可以补上50+8-10X2=38（角），可见替换152+38=4（次）就可补足少掉的152角，所以5元和8角的邮票各有4枚．答：5元的邮票有 4枚，1元的邮票有 7枚，8角的邮票有 4枚．例5老师发给甲班每人 4张白纸，乙班每人 3张白纸，共发白纸 716张；若发给甲班每人3张白纸，乙班每人 4张白纸，则共发白纸 705张．问甲、乙两班各有多少人？解析甲班与乙班人数之差是716—705=11（人）甲班的人数是（3X11+716）+（3+4）=107（人）乙班的人数是107—11=96（人）答：甲班有107人，乙班有 96人．・应用与探究•.今有鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，则鸡和兔各多少只？解：兔：（94-35X2）+（4—2）=12（只）；鸡：35—12=23（只）.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采 14个，这几天当中的雨天有多少天？解：20X（112+14）—112=48（个）；48+（20—12）=6（天）

.一张桌子4条腿，一个洗脸盆架3条腿，现在有桌子和洗脸盆架共100个，合计有340条腿，桌子和洗脸盆架各有多少个？解：桌子：（340—100X3）+（4—3）=40（张）；盆架：100—40=60（个）.把155米长的电线剪成25根，一部分电线每根长5米，另一部分电线每根长8米，则8米和5米长的电线各有多少根？解：8米：（155—25X5）+（8—5）=10（根）；5米：25—10=15（根）.停车场共有汽车和摩托车24辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，所有车车B共有68个轮子，那么汽车和摩托车各有多少辆？解：汽车：（68-24X2）+（4—2）=10（辆）； 摩托车：24—10=14（辆）.2分硬币和5分硬币共23枚，合计85分，那么2分、5分硬币各几枚？解：5分：（85—23X2）+（5—2）=13（枚）；2分：23—13=10（枚）.鸡、兔共有66只脚，若将鸡数与兔数互换，则共有60只脚，则原来有鸡和兔各多少只？解：（66+60）+（2+4）=21（只）；鸡：（21X4—66）+（4—2）=9（只）；兔：21—9=12（只）.五年级进行数学比赛，规定答对一题得 5分，错一题扣2分，共20道题，小江得了86分，他答对了多少道题？解：答错：（20X5—86）+（5+2）=2（道）；答对：20—2=18（道）.特长学校100个学生参加数学竞赛，平均得分63分，其中男生平均分为60分，女生平均分为70分，男生比女生多多少人？解：63X100-60X100=300（分）；女：300+（70—60）=30（人）；男：100—30=70（人）多：70—30=40（人）10.英语竞赛有20道题，做对一道得7分，做错一道倒扣去4分，不答0分，小宇得了100分，他有几道题没答，几道题答错？解：20X7—100=40（分）；40—7=33=11X3;（有1道题没答，3道题答错）第九讲长方形的面积・知识引领•长方形和正方形是我们所认识的基本几何图形，计算它们的面积也是数学学习中几何方面的重要内容.掌握好这部分知识，也为我们将来学习其他几何图形做好必要的准备.在解这类题目时，要注意以下几点：1、能熟练运用长方形和正方形的面积公式进行解题；2、能够将长方形、正方形的面积与周长相逆运算；3、能够利用长方形的特性来帮助解题，会运用简单的分割方法.・经典题例•例1一个长方形的长增加3米，长方形的面积就增加了12平方米.如果宽减少2米,长方形的面积就减少14平方米.问原来长方形面积是多少平方米？解析根据题意，将原来的长方形的长和宽分别变化，画图来帮助分析:从图A中反映了长方形的长增加3米，面积就增加了12平方米，可用12+3求出原来长方形的宽是4米；从图Ba装映了长方形的宽减少2米，面积就减少了14平方米，可用可+2可用可+2求出原来长方形的长7H7米.知道了长方形的长和宽，就可以求出原来长方形的面积:（12+3）X04+2）=28（平方米）例2如图，用四个相同的小长方形拼成一个面积为 100平方厘米的大正方形，每个,大正方形的边长为x.,大正方形的边长为x.由题意知x12=解析假设每个小长方形的长、宽分［外为100,则x=10.由图可知a+b=x,要求小长方形周长，就是求2（a+b）,所以每个小长方形的周长是2X10=20（厘米）.个力、长方形,这些小长方形的周长的总和是96厘例3个力、长方形,这些小长方形的周长的总和是96厘解析所有小长方形周长和是由外面的4条正方形边长再加上中间4条正方形的边长（分别算了2次）组成的.正方形边长是96+（4+4X2）=8（厘米）面积是8X8=64（平方厘米）例4如图C所示，有两个正方形，大小两个正方形对应边的距离均为 1厘米.如果两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？C D解析本题关键是要求出图中小正方形的边长.因为已知两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，所以就要把两个正方形之间部分进行分割，如图 D.把两个正方形之间部分分割成相等的4块，每块的长是小正方形边长加上1厘米，宽是1厘米，所以小正方形的边长是20+4+1—1=4（厘米），小正方形的面积是4X4=16（平方厘米）.例5有9个小长方形，它们的长和宽分别相等.用9个这样的小长方形拼成的大长方形（如图）的周长是58厘米，问这个大长方形的面积是多少平方厘米？解析要求得大长方形的面积，首先要知道小长方形的长和宽，才能求出小长方形的面积，最后求出大长方形的面积.通过对图形的观察，可以发现大长方形的两条长，分别相当于4条小长方形的长之和、5条小长方形的宽之和，得到一个等式：4长=5宽.又因为大长方形的周长是58厘米，通过图形观察，可以得到大长方形的周长是由 6条小长方形的长和7条小长方形的宽组成，得到一个等式：6长+7宽=58.现在将这两个等式分别扩大3倍和2倍，得12长=15宽，12长+14宽=116.通过代换法可以得到：15宽+14宽=116,宽=4,则长=5X4+4=5.由于大长方形的面积是由9个小长方形的面积组成，所以具体列式是5X4X9=180（平方厘米）.例6如图，正方形ABCD4长是10厘米，长方形EFGH勺长为8厘米、宽为5厘米.问阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？方・应用与探究•方・应用与探究•A解析设正方形ABCD勺面积为c,则阴影部分的面积差是（a—c）面积大小无关，应等于正方形ABC10XBD|EMGHgB^H为b,重叠部分EFNM勺面积为羽影部分的面积差与重叠部分的 勺面积之差.（平方SG）C解：长：100+2—15=35（厘米）；S=35X15=525（平方厘米）.如果一个正方形的一组对边的长各增加3厘米成为长方形，面积就增加24平方厘米,则原来的正方形面积是多少平方厘米？解：24+3=8（厘米）；S=8X8=64（平方厘米）.两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米，那么长方形的面积是多少平方厘米？解：S=6X3=18（平方厘米）.一个正方形与一个长方形的周长相等，长方形长与宽的和是 14分米，则正方形的面积是多少平方分米？解：边长：14X2+4=7（厘米）； S=7X7=49（平方厘米）.两个正方形的边长相差8厘米，面积相差96平方厘米，这两个正方形边长分别是多少厘米？解：96—8X8=32（平方厘米）；小边长：32+2+8=2（厘米）；大边长：2+8=10（厘米）7.有两张同样大小的长方形纸片，长15厘米，宽4厘米.把它们按下图所示的方法叠合贴在一起，形成“十”字图形，它的面积是多少平方厘米?解：S=15X4—4X4=104（平方厘米;解：S=15X4—4X4=104（平方厘米;8.把长方形的长去掉5厘米，宽去掉p2■厘原长方形的面积少66平方厘米，求原长I方形的面ffiJ一个正方形，这个正方形的面积比积是少少平方厘米?解：设正方形边长为a,解：设正方形边长为a,则2a+5（a+2）=66（平方厘米） I—a=8(厘米)，S=(8+2)X(8+5)=1309.下图是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积是多少?解：6X6+4=9（平方分米）；S解：6X6+4=9（平方分米）；S=9X2+36=54（平方分冰10.有一大一小两个正方形，它们的周正方形的面积是多少平方分米？解：32—2X2=28（平方厘米）；方厘米）8米，且面积相差32平方分米，小的6分米小边长：32+2+2=7（厘米）；S=7X7=49（平第十讲图形的拼割与计算・知识引领•图形的拼切就是把一个图形分成若干块，然后再拼成一个很规则的图形.图形在拼切的过程中，面积大小是不变的.利用面积大小的逐推是一种解题的良好方式，利用图形的对称性进行拼切也是一种常用的好方法.在拼切的过程中，除了要考虑图形本身的特征外，还要学会采用旋转分割的方法，而且要综合考虑切割后的图形形状逐步思考.增强对图形的直观感觉与判断能力，是图形拼切的基础.・经典题例•例1把一个正方形切割成四个完全相同的部分，有几种不同的切割方法？解析根据条件，首先可以考虑到一些比较常规的切割方法，如图：但是，通过观察，四个图形分割的线段，总有一条线段或一条以上线段通过正方形的中心.那么这道题的切割过程，必定有切割线段经过正方形中心，这样还有以下的割法：因为正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，按照下图中的切割手段，将两条互相垂直的线段，围绕正方形的中心进行旋转，可以得到无数种的分割方法.

例2如图A,这是一个4X4的正方形，共有16个小方格，分别写有☆、△、。、◊四种图形各4个.现在要把它们分成形状、大小都一样的四块，并且每一块都要有☆、△、。、◊各一个，应该怎样划分？A B解析根据题意，把这个正方形分割成形状大小都一样的四块，由于所写的图形打乱分散在各个位置上，如果用直线分割（即4个一排或一列）的方法进行是不可能的，那么分割过程中必定要考虑旋转分割（即横、竖都有的图形）的方法.如图 B.例3用24块面积都是1平方分米的木块拼成的长方形（不含正方形）中，最小的周长是多少分米？解析面积一定，长方形的长与宽越接近，周长越小，因此拼成的长方形中，长为6分米，宽为4分米时，周长最小.最小的周长是（6+4）X2=20（分米）.例4有一块长48分米、宽30分米的长方形地毯，现在把它铺到长40分米、宽36分米的房间中，怎样拼割使其正好铺满房间.解析首先考虑地毯的面积48X30=1440（平方分米），而房间面积是40X36=1440（平方分米），两个面积相等，可以正好铺满房间.根据题意，地毯的长是48分米，而房间的宽是36分米，可以考虑将它们等分成长度一样的一小块，这一小块的长是12分米，则地毯的长分成4份、房间的宽分成3份.同样的道理，可以把地毯的宽分成3份、房间白宽分成4份.如图C分割，如图D拼接.C D例5将下图分成两块，然后拼成一个正方形.解析图中共有小正方形16个，把它分割后拼成的正方形，它的边长是4个小正方形，所以根据这个特征进行分割，横行4个小正方形可以满足.因为横行共有5个小正方形，而竖列也是4个小正方形，必须将分割的一块往下移1个小正方形的位置.还有根据E,拼接如图E,拼接如图.在一个9X9的方格表中画一条直线，最多可穿过多少个方格？ （9个）.把一个正方形分割成4个形状相同、大小相等的图形，共有几种不同的分割方法？请你画出其中的六种来..把下图中的等边三角形分割成9块形状、大小都相同的图形..如图，一块长方形地被两条直线截成四块，其中三块长方形的面积是 20平方米、24平方米、30平方米，问第四块面积是多少平方米？ （25平方米）.把下图中的等边三角形分割成8块.把下图的两个正方形分割成6个或.用四块直角边是3和.把下图中的等边三角形分割成8块.把下图的两个正方形分割成6个或.用四块直角边是3和4,斜边是5形状、大舱B相同的图形.围成一个正方形，这个正方形的面积最大是多少？解：S=5X5=25 4.如图，公园里有一个正方形的花坛，3_丁7…一一司有 1/米宽的走道.如果走道的总面积是平方米，那么中间花坛的面积是多少平方产解：12+4=3（平方米） 匚3+1=3（米）S=（3—1）X（3—1）=4（平方米〕129.将下图所示长方形分割成形状、大小都相等的六小块，使每块所含数字的和都相等.10.用1X1,2X2,3X3的少要用多少块？(4块)・知识引领•/J5E；亍3排:成一恬11*「曲大正方形，则最小的正方形至7X35755曾寸3族’5得性妒!5535573有些数学竞赛题，给出的许多条件之间往往纵横交错，层次众多，我们不能凭空想象，而是要学会有根有据地想问题，这就需要我们有良好的逻辑思维能力和逻辑推理能力.数学和逻辑推理之间有密切的关系，要通过逻辑推理的练习训练思维的逻辑性、严密性和灵活性，提高智力水平.・经典题例•例1如图，前两个天平平衡，要使第三个天平也平衡，左端要放几张梅花？解析我们先估计一下.放4张梅花显然不够(第三个天平右边的黑桃、方块均多于第一个天平).放8张梅花又太多了：将前两个天平的梅花合并，一共8张，相当于将方块、黑桃也合并，即5张黑桃、6张方块合在一起，才等于8张梅花，合并后，与第三个天平相比，黑桃多出5—3=2(张)，方块多出6—5=1(张).从第二个天平看出，2张黑桃、1张方块合起来，正好是2张梅花(左、右各取一半).于是从8张梅花中去掉2张，即在第三个天平的左边放6张梅花，两边正好平衡.例21000个人中至少有1个人说假话，而这1000人中的任意两个人，总有1个人不说假话，这1000人中不说假话的有多少人？有多少人说假话？解析要保证1000人中的任意两个人中，总有1人不说假话，可以理解为以下两种情况：任意两个人中1人说假话，1人不说假话或者任意两个人中两人都不说假话，所以不能有两人说假话.这1000人中，不说假话的有999人，说假话的只有1人.例3丁丁、光光和园园三位小朋友分别出生在成都、重庆、达州.已知：(1)丁丁从未到过成都；(2)成都出生的小朋友不叫光光；(3)光光不出生在达州.问：三个小朋友各出生在哪里？解析这是一道简单的逻辑推理题.我们从题中给出的已知条件入手进行分析.条件(2)和(3)都是关于小朋友光光的，从中可以看出光光既不出生在成都也不出生在达州，所以光光出生在重庆.再由条件(1)“丁丁从未到过成都”得出丁丁不出生在成都，所以丁丁出生在达州.那么，只能是园园出生在成都了.例4甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、英语课.已知：(1)每位老师只教一门课；(2)甲上课全用汉语；(3)英语老师是一个学生的哥哥；(4)丙是一位女老师，她比数学老师活泼.问：三位老师各上什么课？解析题目中给出了四个条件，从哪里着手进行分析是解决问题的关键.一般来讲，较为复杂的条件给出的信息较多，以此作为解决问题的突破口是比较好的选择.题目中条件(4)“丙是一位女老师，她比数学老师活泼”可以得出丙不教数学，而且是位女老师.而条件（3）“英语老师是一个学生的哥哥”可以得出，教英语的是位男老师，所以内也不教语文.条件（2）“甲上课全用汉语”可以得出甲不教英语，因为“每位老师只教一门课” ，所以甲只能是教数学.由此可以推出乙教英语.例5一只乒乓球装在ABC三个盒子里，盒盖上分别标有一句话：A盒：乒乓球在此盒；B盒：乒乓球不在此盒；C盒：乒乓球不在A盒.这三张标签中，只有一张是正确的，问乒乓球在哪个盒子里？解析上面三张标签中，A盒上的标签与C盒上的标签互相矛盾，不可能全正确，也不可能全错误，而必须是一个正确一个错误.由于三张标签中只有一张是正确的，而AC盒中有一盒是正确的，那么可判断B盒一定是错误的，所以球一定在B盒中.这题也可以用枚举法分析解答，把题目分为球在A盒中，球在B盒中或球在C盒中三种不同情况进行列表分析：标签内容球在A盒|球在B盒球在C盒A盒：乒乓球在此盒VXXB盒：乒乓球不在此盒VXVC盒：乒乓球不在A盒XVV观察“球在A盒”这一列有两个，表示有两张标签正确；同样“球在C盒”这一列有两个，也表示有两张标签正确；只有“球在B盒”这一列只有一个，说明只有一张标签正确，与题目中条件吻合.例64支球队，每两队比赛1场.每场胜队得3分，负队得0分，平各得1分.已知赛完各队的得分分别为2、3、4、5.问第4名负于哪个队？解析第1名得分最高（得5分），似乎第4名应当负于第1名.但仔细分析，结论却并非如此.每个队赛了3场，所以得5分的队，3场的分数是3,1,1（否则，和不会是5）;得4分的队，3场的分数是3,1,0;得2分的队，3场的分数是1,1,0.得3分的队，则有两种可能：3,0,0或者1,1,1.需要研究一下：这两种可能都存在呢？还是只有一种可能，是哪一种可能？由于每个平局产生两个1,所以在上面各队各场的分数中，1的总个数是偶数.因此，得3分的队，3场的分数只能是1,1,1.得4分的队胜了1场（有1个3分）.它胜在哪个队呢？只能胜得2分的队.因为只有两个队输过，即得4分的队与得2分的队.得4分的队当然不能胜自己，只能胜得2分的队.换句话说，第4名负于第2名.・应用与探究•.有三个好朋友在谈论这次考试的成绩.小明说：“小红的分数比小强高”；小红说：“小明的分数比小强高”；小强说：“小明的分数比小红低”.这三人中谁的分数最高？谁的分数最低？（小红最高，小强最低）.有这样的一个月份：星期六的天数比星期五的天数多，星期日的天数比星期一的天数多.这个月的6号是星期几？（星期四）.某年的一月份，有五个星期二与五个星期四，那么这一年的 1月12日是星期几？（星期六）.赵老师、孙老师、李老师三人各教语文、数学、英语中的一科.已知赵老师不教数学，孙老师既不教语文也不教数学，那么教数学的是哪位老师？ （李老师）.房、胡、唐三名老师分别来自重庆、达州、遂宁，分别教数学、历史、生物.已知：唐老师不是达州人，胡老师不是遂宁人；遂宁的老师教生物；达州人不教数学；房老师教数学.那么唐老师教什么课？(生物).一大老师发现全班50个学生中有学生没戴红领巾，并且任何两个学生之间必有一个带了红领巾，那么共有多少人没戴红领巾？ (1个).有4盆水，如果全部倒入小桶内，需要3只小桶；有5大杯水，如果全部倒入盆内，能装满2盆.现有20大杯水，如果改用小桶来装，需准备几只小桶？(6只).A、B、C、DE五组拔河比赛，每两组都赛一场，规定胜者得2分，负者不得分.已知比赛结果如下：A与E并列第一名；B是第三名；C和D并列第四名.那么B的得分是多少分？(4分).全校要选一个代表去参加会议，候选人有甲、乙两个人，共121人参加选举，每人选一人.开票中途累计：甲已获45票，乙已获35票.最后得票多的当选，那么甲至少还要获多少票能当选？(16票)10.传说中有一个小国，这个国家的人有一半人说谎话，另一半人说真话.有一天，这个国家的一群人，来到一个酒店，围坐在一个圆桌旁.已知，说谎话的与说真话的相间隔坐(即一个说谎话的人旁边是说真话的人).这时，其中的一人对服务员说：“给我们每人来一杯水，总共13杯.”请问：说话的这个人是说真话还是喜欢说谎话的人？ (说假话)第十二讲定义新运算・知识引领•我们已经学习过加法、减法、乘法、除法运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，其意义、符号和运算定律已被大家熟悉.很多时候，为了某种需要，常把许多含有加、减、乘、除的运算用一个代表符号表示.这样的运算及符号在课本中没有统一的规定，通过学习这些知识，对于同学们开阔视野、拓展思维都会大有好处.・经典题例•例1设a,b者B表示数，规定az\b=3Ma—2Mb.(1)求：3A2=?2A3=?(2)如果已知4Ab=2,求b=?解析本题规定的运算的本质是用运算符号前面的数的 3倍减去符号后面的数的2倍.3A2=3X3-2X2=52A3=3X2-2X3=0(2)因为4△b=3x4-2^b=12-2b,那么12—2b=2,解出b=5.例2定义运算◎为A©B=AXB-(A+B),求：(1)7011=? (2)1205=? (3)120(304)=?解析新运算符号前后两个数之积减去这两个数之和，注意有括号的先计算.7011=7X11-(7+11)=5912©5=12X5—(12+5)=43120(304)=120[3X4—(3+4)]=1205=12X5—(12+5)=43例3已知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=3702.求：(1)3*3=?(2)5*4=?(3)若1*x=123,求x=?解析观察已知两个等式可以发现，定义的是连加计算，第一个加数是“*”前面的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“ *”后边的数恰好是加数的个数.3*3=3+33+333=3695*4=5+55+555+5555=61701*x=1+11+111+...+£..1=123x个1倒着算，123—1=122122-11=111111-111=0即1+11+111=1*3=123所以x=3例4设a为大于1的整数，规定a*b=ab+a-b(如：3*5=3X5+3-5=13).计算：(4*6)*(6*4)=?解析a*b是这样计算的：先求a与b的乘积，再求此乘积与a的和，最后再减去b.(4*6)*(6*4)=(4X6+4—6)*(6X4+6—4)=22*26=22X26+22-26=568这个例子说明4*6w6*4,计算时要严格按照运算顺序，且先算括号内的.例5对于正整数a与b,规定a*b=ax(a+1)x(a+2)M..x(a+b-1).如果(x*3)*2=3660,见B么