中考数学试题分类汇总《相似三角形》练习题

第第页中考数学试题分类汇总《相似三角形》练习题（含答案）1．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，1），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（）A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3）【解答】解：∵A（1，0），D（3，0），∴OA＝1，OD＝3，∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，∴＝＝，∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，∵点B的坐标为（2，1），∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3），2．如图，一次函数y＝2x+3的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（）A．（﹣，2）B．（﹣1，1） C．（﹣，2）或（﹣1，1）D．不存在【解答】解：设P（m，2m+3），根据题意，得矩形OCPD的面积：（﹣m）（2m+3）＝1，解方程，得m＝﹣1或m＝﹣，∴P点坐标（﹣1，1）或（﹣，2），相似三角形的判定与性质3．如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ABC＝4，则S△ADE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知△ABC的面积，进而即可得出△ADE的面积．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，即＝，∴S△ADE＝1．4．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝1或4或2.5．【解答】解：①当△APD∽△PBC时，＝，即＝，解得：PD＝1，或PD＝4；②当△PAD∽△PBC时，＝，即＝，解得：DP＝2.5．综上所述，DP的长度是1或4或2.5．5．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是．【分析】设BF与CE相交于点H，利用△BCH和△BGF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之间的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，设BF与CE相交于点H，∵CE∥GF，∴△BCH∽△BGF，∴＝，即＝，解得CH＝，∴DH＝CD﹣CH＝2﹣＝，∵∠A＝120°，∴AB、GF之间的距离＝（2+3）×＝，∴阴影部分的面积＝××＝．6．如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ABC＝4，则S△ADE＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知△ABC的面积，进而即可得出△ADE的面积．【解答】解：如图，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，即＝，∴S△ADE＝1．7．在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，若△ADE的周长为4cm，则△ABC的周长为8cm．【分析】根据中位线的性质即可求出答案．【解答】解：由于DE是△ADC的中位线，∴＝，∴l△ABC＝8相似三角形的综合8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在它的内部作一个矩形DEFG，使得DE在边AB上，F、G分别在边BC、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y．（1）写出图中的一对相似三角形；（2）求y关于x的函数关系式；（3）若、是平面直角坐标系中的两个点，判断线段MN与（2）中函数图象的交点情况，并求出对应m的取值范围．【分析】（1）根据FG∥AB，得∠CFG＝∠B，可说明△CFG∽△CBA；（2）作CH⊥AB于H，交FG于P，利用勾股定理得AB＝10，再利用等积法求出CH的长，再利用相似三角形的性质表示出EF的长，从而求出y与x的函数解析式；（3）由点N的坐标，可知点N在直线y＝x上运动，且MN∥x轴，根据函数图象即可解决问题．【解答】解：（1）∵FG∥AB，∴∠CFG＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CFG∽△CBA（答案不唯一）；（2）作CH⊥AB于H，交FG于P，∵AC＝6，BC＝8．由勾股定理得AB＝10，∴，∴CH＝，∵△CFG∽△CBA，∴，∴，解得EF＝，∴y＝（）x＝﹣+；（3）∵，∴点N在直线y＝x上运动，且MN∥x轴，点N在抛物线上时，﹣，解得m＝0或，∴当m＜时，线段MN与（2）中函数图象有一个交点，∵y＝﹣+的对称轴为直线x＝5，∴当x＝5时，y＝12，当m＝12时，m＝24，∴当时，线段MN与（2）中函数图象有两个交点，当m＝24时，MN与（2）中函数图象有一个交点，当m＞24时，MN与（2）中函数图象没有交点，综上：当m＜或m＝24时，线段MN与（2）中函数图象有一个交点，当时，线段MN与（2）中函数图象有两个交点，当m＞24时，MN与（2）中函数图象没有交点．9．如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD＝4．（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE=BF，

∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；（2）设AP=x，则PD=4-x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，

∴△PDM∽△BAP，当x=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝2+2．【分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得AD＝DE，设∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，得∠BAF＝∠CAF，设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BFE，∵BE＝BF＝2，∴∠BEF＝∠BFE，∵∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，∴AD＝DE，设∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF，∴x﹣y＝∠DAC，∠ADO＝∠ADB，∴△ADO∽△BDA，设AD＝DF＝m，∴，∴BD＝BE+DE＝2+m，∴DO＝BD＝（2+m），∴，∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，即m2﹣4m﹣4＝0，∴m1＝2+2，m2＝2﹣2（舍去），经检验m＝2+2是分式方程的解，∴AD＝2+2．11．如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，则BC的长是（）A． B． C．6 D．【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，∠A＝∠C，结合已知得出△DFE∽△DEA，利用相似三角形的性质结合题意求出AD的长度，即可得出BC的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，∵∠DEF＝∠C，∴∠DEF＝∠A，∵∠EDF＝∠ADE，∴△DFE∽△DEA，∴，∵DE＝4，AF＝，∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣，∴，∴42＝（AD一）•AD，∴AD＝或AD＝﹣3（舍去），∴BC的长是，相似三角形的应用12．如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小明拿来一面镜子平放在离树根部5m的地面上，然后沿着树根和镜子所在的直线后退，当后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的眼睛到地面的距离为1.5m，则大树的高度是7.5m．【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE＝AC：DE，即1：5＝1.5：DE，∴DE＝7.5（m），13．小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的一棵树的影长为10m，则这棵树的高为8m．【解答】解：设这棵树的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，则可列比例为：，解得x＝8．14