金融工程教案3

第三章

远期和期货的定价

2/6/20231金融远期和期货市场概述

金融远期合约（ForwardContracts）是指双方约定在未来的某一确定时间，按确定的价格买卖一定数量的某种金融资产的合约。如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。这意味着无需成本就可处于远期合约的多头或空头状态。第三章远期和期货的定价

2/6/20232远期价格与远期价值我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格。远期价格是跟标的物的现货价格紧密相联的，而远期价值则是指远期合约本身的价值，它是由远期实际价格与远期理论价格的差距决定的。在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则此时合约价值为零。但随着时间推移，远期理论价格有可能改变，而原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有合约的价值就可能不再为零。

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2/6/20233远期合约是适应规避现货交易风险的需要而产生的。远期合约是非标准化合约。灵活性较大是远期合约的主要优点。在签署远期合约之前，双方可以就交割地点、交割时间、交割价格、合约规模、标的物的品质等细节进行谈判，以便尽量满足双方的需要。第三章远期和期货的定价

2/6/20234远期合约的缺点首先，由于远期合约没有固定的、集中的交易场所，不利于信息交流和传递，不利于形成统一的市场价格，市场效率较低。其次，由于每份远期合约千差万别，这就给远期合约的流通造成较大不便，因此远期合约的流动性较差。最后，远期合约的履约没有保证，当价格变动对一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行合约，因此远期合约的违约风险较高。第三章远期和期货的定价

2/6/20235金融远期合约的种类远期利率协议（ForwardRateAgreements，简称FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的时期开始在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。所谓远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率。如14远期利率，即表示1个月之后开始的期限3个月的远期利率。第三章远期和期货的定价

2/6/20236一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期利率为r，T*时刻（）到期的即期利率为，则t时刻的期间的远期利率可以通过下式求得：第三章远期和期货的定价

2/6/20237连续复利假设数额A以利率R投资了n年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：

如果每年计m次复利，则终值为：当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuouscompounding），此时的终值为第三章远期和期货的定价

2/6/20238远期外汇合约远期外汇合约（ForwardExchangeContracts）是指双方约定在将来某一时间按约定的远期汇率买卖一定金额的某种外汇的合约。按照远期的开始时期划分，远期外汇合约又分为直接远期外汇合约（OutrightForwardForeignExchangeContracts）和远期外汇综合协议（SyntheticAgreementforForwardExchange，简称SAFE）。第三章远期和期货的定价

2/6/20239远期股票合约远期股票合约（Equityforwards）是指在将来某一特定日期按特定价格交付一定数量单个股票或一揽子股票的协议。

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2/6/202310金融期货合约（FinancialFuturesContracts）是指协议双方同意在约定的将来某个日期按约定的条件（包括价格、交割地点、交割方式）买入或卖出一定标准数量的某种金融工具的标准化协议。合约中规定的价格就是期货价格(FuturesPrice)。第三章远期和期货的定价

2/6/202311金融期货交易的特征期货合约均在交易所进行，交易双方不直接接触，而是各自跟交易所的清算部或专设的清算公司结算。期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交易以结束其期货头寸（即平仓），而无须进行最后的实物交割。期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是标准化的，即在合约上有明确的规定，无须双方再商定。期货交易是每天进行结算的，而不是到期一次性进行的，买卖双方在交易之前都必须在经纪公司开立专门的保证金账户。

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2/6/202312金融期货合约的种类按标的物不同，金融期货可分为利率期货、股价指数期货和外汇期货。利率期货是指标的资产价格依赖于利率水平的期货合约，如长期国债期货、短期国债期货和欧洲美元期货。股价指数期货的标的物是股价指数。外汇期货的标的物是外汇，如美元、德国马克、法国法郎、英镑、日元、澳元、加元等。

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2/6/202313期货市场的功能转移价格风险的功能价格发现功能第三章远期和期货的定价

2/6/202314期货合约与远期合约比较标准化程度不同

交易场所不同违约风险不同价格确定方式不同履约方式不同合约双方关系不同结算方式不同

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2/6/202315远期价格和期货价格的关系

当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。

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2/6/202316无收益资产远期合约的定价

组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。第三章远期和期货的定价

2/6/202317现货-远期平价定理F=Ser（T－t）对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。

假设F>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了F－Ser（T－t）的无风险利润。第三章远期和期货的定价

2/6/202318若F<Ser（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利润。第三章远期和期货的定价

2/6/202319远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。F=Ser（T－t）

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2/6/202320两式相除消掉S后,我们可以得到不同期限远期价格之间的关系：第三章远期和期货的定价

2/6/202321支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负债。

f+Ke-r（T－t）=S-If=S-I-Ke-r（T－t）支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。第三章远期和期货的定价

2/6/202322根据F的定义，我们可从上式求得：F=(S-I)er（T－t）(1)这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。其表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。第三章远期和期货的定价

2/6/202323长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系长期国债期货的报价与现货一样，以美元和32分之一美元报出。应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格（CashPrice）是不同的。现金价格与报价的关系为：

现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息(2)第三章远期和期货的定价

2/6/202324假设现在是1999年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为94—28（即94.875）。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于：

该国债的现金价格为：94.875美元+2.674美元=97.549美元

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2/6/202325交割券与标准券的转换因子芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（ConversionFactor）。转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。第三章远期和期货的定价

2/6/202326在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。空方交割100美元面值的债券应收到的现金：空方收到的现金=期货报价交割债券的转换因子+交割债券的累计利息第三章远期和期货的定价

2/6/202327例子某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90—00，求空方用该债券交割应收到的现金。此时债券的价值为：转换因子=160.55-3.5=157.05美元空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：1000[（1.570590.00）+3.5]=144，845美元

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2/6/202328确定交割最合算的债券交割最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。交割差距=债券报价+累计利息-[（期货报价转换因子）+累计利息]=债券报价-（期货报价转换因子）第三章远期和期货的定价

2/6/202329国债期货价格的确定如果我们假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么我们可以通过以下四个步骤来确定国债期货价格：1.根据交割最合算的国债的报价，运用式（2）算出该交割券的现金价格。2．运用公式（1），根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。3．运用公式（2）根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。4．将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格。第三章远期和期货的定价

2/6/202330例子假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%（连续复利）。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。第三章远期和期货的定价

2/6/202331首先，求出交割券的现金价格为：其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。7e-0.33420.1=6.770美元再次，交割券期货理论上的现金价格为：（120.308-7.770）e0.73970.1=121.178美元再其次，交割券期货的理论报价为：最后，我们可以求出标准券的期货报价：第三章远期和期货的定价

2/6/202332支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：e-q（T－t）单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。支付已知收益率资产的远期价格：第三章远期和期货的定价

2/6/202333外汇远期和期货的定价S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，外汇远期合约的价值：外汇远期和期货价格的确定公式：这就是国际金融领域著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。第三章远期和期货的定价

2/6/202334远期利率协议的定价远期利率协议属于支付已知收益率资产的远期合约。远期利率协议多方（即借入名义本金的一方）的现金流为：T时刻：AT*时刻：

这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。第三章远期和期货的定价

2/6/202335为此，我们要先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远期利率贴现到T时刻，再贴现到现在时刻t，即：这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格（在这里为rK）。因此理论上的远期利率（rF）应等于：第三章远期和期货的定价

2/6/202336远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t时刻）约定买方在结算日（T时刻）按照合同中规定的结算日直接远期汇率（K）用第二货币向卖方买入一定名义金额（A）的原货币，然后在到期日（T*时刻）再按合同中规定的到期日直接远期汇率（K*）把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方的协议。根据该协议，多头的现金流为：T时刻：A单位外币减AK本币第三章远期和期货的定价

2/6/202337T*时刻：AK*本币减A单位外币这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值（f）。为此，我们要先将本币和外币分别按相应期限的本币和外币无风险利率贴现成现值，再将外币现金流现值按t时刻的汇率（S）折成本币。我们令rf代表在T时刻到期的外币即期利率，r*f代表在T*时刻到期的外币即期利率，则：第三章远期和期货的定价

2/6/202338由于远期汇率就是合约价值为零的协议价格（这里为K和K*），因此T时刻交割的理论远期汇率（F）和T*时刻交割的理论远期汇率（F*）分别为：所以第三章远期和期货的定价

2/6/202339我们用W*表示T时刻到T*时刻的远期差价。定义W*=F*-F，表示远期差价。其中，和分别表示T时间到T*时刻本币和外币的远期利率。我们用W表示t时刻到T时刻的远期差价，我们可以得到：

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2/6/202340期货价格和现货价格的关系期货价格和现货价格的关系可以用基差(Basis)来描述。所谓基差，是指现货价格与期货价格之差，即：基差=现货价格-期货价格基差可能为正值也可能为负值。但在期货合约到期日，基差应为零。这种现象称为期货价格收敛于标的资产的现货价格。第三章远期和期货的定价

2/6/202341当标的证券没有收益，或者已知现金收益较小、或者已知收益率小于无风险利率时，期货价格应高于现货价格。

现货价格期货价格第三章远期和期货的定价

2/6/202342当标的证券的已知现金收益较大，或者已知收益率大于无风险利率时，期货价格应小于现货价格。现货价格

期货价格第三章远期和期货的定价

2/6/202343基差会随着期货价格和现货价格变动幅度的差距而变化。当现货价格的增长大于期货价格的增长时，基差也随之增加，称为基差增大。当期货价格的增长大于现货价格增长时，称为基差减少。期货价格收敛于标的资产现货价格是由套利行为决定的。第三章远期和期货的定价

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