第四章 随机变量的数字特征

1随机变量的数字特征—概述

分布函数能完整地描述随机变量的统计特性.但在某些实际问题中，并不需要全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数.

例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；又如,检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好.

与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征.2第四章随机变量的数字特征4.1数学期望

4.2方差4.3协方差与相关系数4.4大数定律与中心极限定理3引例有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：

射手乙试问哪个射手本领较好？

射手甲解设两个选手各射N枪，则有

甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N

乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N

甲平均射中9.3环，乙平均射中9.1环，因此甲射手的本领好些.

在这一问题中，以平均值的大小为准则，来判定射手的射击水平的高低.由此产生了随机变量的数学期望E(X)的概念.4

射手甲射手乙试问哪个射手本领好一些？

若两个选手各射N枪，则甲的平均环数为：(8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N)/N=9.1，乙的平均环数为:（8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N)/N=9.1.

这时，可用量

来衡量射手的射击水平的高低.D(X)它表示射击环数对平均值的离散度.D(X)的值越小，表示射击环数x越集中在平均环数E(X)的附近，这意味着射手的射击水平越稳定.由此便产生了方差的概念.但是，仅利用平均值这一指标，来判定射手的射击水平的高低还不够.例如，54.1随机变量的数学期望4.1.1随机变量的数学期望4.1.2随机变量函数的数学期望4.1.3数学期望的性质64.1.1数学期望的定义—离散型设离散型随机变量X的分布律为绝对收敛，则称的和为随机变量X的数学期望（或均值），记为.即若级数7数学期望的定义—连续型设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，即若积分绝对收敛，则称

的值为随机变量X的数学期望（或均值），记为E(X).8例1，2求二项分布的数学期望.解例2求普阿松分布的数学期望.9例3，4随机变量X取值对应的概率为求数学期望.解尽管但由于因此，随机变量X的期望E(X)不存在.例4随机变量X服从指数分布求数学期望.解104.1.2随机变量函数的数学期望11例512例6

若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.

有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为

1314随机向量函数的数学期望15随机向量的分量的数学期望则有从而有16例7174.1.3数学期望的性质18例819即20矩的概念214.2随机变量的方差4.2.1方差的定义4.2.2方差的性质224.2.1随机变量方差的定义23方差与数学期望的关系24例925例10

264.2.2方差的性质27例11

2829例12

304.2.3标准正态分布的期望与方差31正态分布的期望与方差32正态随机变量的线性组合—再生性3334例133536例14374.3协方差与相关系数4.3.1定义4.3.2性质4.3.3不相关与独立384.3.1协方差与相关系数的定义39协方差与期望、方差的关系40例15

41424.3.2协方差、相关系数的性质43例16证明444.3.3不相关与独立45不相关与独立间的关系不相关独立相关46例171/41/41/41/4P{X=j}1/21/4001/441/201/41/401P{Y=i}21-1-2

X

Y471/41/41/41/41/4P{X=j}1/21/4001/441/201/401P{Y=i}21-1-2

X

Y484.4.1大数定律的内容辛钦大数定律（弱大数定律）49贝努里大数定律虽然某个事件在某一次实验中可以出现，也可以不出现.但是，在大量重复试验中却呈现明显的规律性，即一个随机事件出现的频率在某个固定数的附近摆动，即所谓“频率稳定性”.显然，贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况.雅各布第一贝努里（1652—1705）在《推测术》(1713年出版)中首先证明了这个规律.50大数定律的意义大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性，从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性.它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论根据，所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.514.4.2中心极限定理的内容52林德伯格—莱维定理53中心极限定理的意义正态分布是现实生活中使用最多、最广泛、最重要的一种分布.许多随机变量本身并不服从正态分布，但在某些条件下，这些随机变量之和的分布的极限是正态分布，即在一定的条件下，原来不服从正态分布的随机变量的和的分布渐近地服从正态分布.中心极限定理为利用正态分布来解决这类随机变量的概率问题提供了理论依据.大数定律与中心极限定理都是通过极限理论来研究概率问题，研究的对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要的意义.所不同的是，大数定律研究平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和分布的极限.54例185556例19575859德莫佛——拉普拉斯定理60概率计算公式61近似计算公式62例20

6364例21

65附录1极限定理发展简史

概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，他于1713年提出，泊松于1837年称之为“大数定律”.概率论中讨论随机变量序列的算术平均值收敛于常数的定律.它是概率论与数理统计学的基本定律之一.又称为弱大数理论.

1733年，徳莫佛--拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的证明，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，波利亚于1920年为之命名为“中心极限定理”.20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝格条件和费勒条件是独立随机变量序列情况下的显著进展.66附录2随机向量的数学期望和方差67附录3

补充题16869补充题