第五节指数与指数函数

根式的概念符号表示备注如果①

,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个②

,负数的n次方根是一个③

零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有④

,它们互为⑤

±

负数没有偶次方根1.指数幂的概念(1)根式的概念xn=a正数负数两个相反数教材研读(2)两个重要公式

=

(

)n=⑨

(注意a必须使

有意义).2.有理数指数幂(1)分数指数幂的表示(i)正数的正分数指数幂:

=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1).(ii)正数的负分数指数幂:a

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(iii)0的正分数指数幂是

,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质(i)aras=

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

(a>0,b>0,r∈Q).0ar+sarsarbr

a>10<a<1图象

定义域

值域

性质过定点

当x>0时,

;当x<0时,

当x>0时,

;当x<0时,

在(-∞,+∞)上是

.

在(-∞,+∞)上是

3.指数函数的图象与性质R(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1单调增函数单调减函数

1.计算[(-2)6

-(-1)0的结果为

(

)A.-9

B.7

C.-10

D.9答案

B原式=

-1=23-1=7.故选B.2.化简

(x<0,y<0)得

(

)A.2x2y

B.2xy

C.4x2y

D.-2x2y

答案

D∵x<0,y<0,∴4

=(16x8·y4

=1

·(x8

·(y4

=2x2|y|=-2x2y.3.函数f(x)=3x+1的值域为

(

)A.(-1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.[1,+∞)

答案

B∵3x>0,∴3x+1>1,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).4.(2015北京丰台一模,7)已知奇函数y=

如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=

(

)

A.

B.-

C.2-x

D.-2x

答案

D由题图知f(1)=

,∴a=

,f(x)=

,由题意得g(x)=-f(-x)=-

=-2x,选D.5.(2015北京,10,5分)2-3,

,log25三个数中最大的数是

.

答案

log25

解析∵2-3=

<1,1<

<2,log25>2,∴这三个数中最大的数为log25.6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为

.答案

(2,3)

解析∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.

指数幂的化简与求值典例1化简下列各式:(1)[(0.06

)-2.5

-

-π0;(2)

÷

×

.

解析

(1)原式=

-

-1=

-

-1=

-

-1=0.考点突破(2)原式=

÷

×

=

(

-2

)×

×

=

×a×

=a2.(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法

则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时

含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.1-1化简:

.

解析原式=

=

=

.1-2计算:4

÷

.

解析原式=(-6)

=-6a.

指数函数的图象及应用典例2

(1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是

(

)

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是

.

答案

(1)D

(2)-1≤b≤1

解析

(1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b<0,故

选D.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤

1.

(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过

这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最

基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到的.特别

地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不

等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.

2-1

若将本例(2)改为:若直线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.

解析曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).

2-2若将本例(2)改为:函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围是什么?

解析因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即k的取值范围为(-∞,0].

2-3若将本例(2)改为:直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是什么?

解析

y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位,再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图1;当0<a<1时,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,得到0<a<

,如图2.

综上可知,a的取值范围是

.

指数函数的性质及应用典例3

(1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.

53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为

(

)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a(2)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=

.

答案

(1)C

(2)-

解析

(1)∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,∴m=0.∵a=f(lo

3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数,∴f(log25)>f(log2

3)>f(0),即b>a>c,故选C.(2)①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则

无解.②当0<a<1时,f(x)在[-1,0]上单调递减,则

解得

∴a+b=-

.指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和指数

均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或相同底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1等)分段.3-1设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是

(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a

答案

C因为指数函数y=0.6x在(-∞,+∞)上为减函数,所以0.60.6>0.61.5,即a>b,又0<0.60.6<1,1.50.6>1,所以a<c,故选C.3-2

(2015北京朝阳一模,14)记x2-x1为区间[x1,x2]的长度,已知函数y=2|x|,x∈

[-2,a](a≥0),其值域为[m,n],则区间[m,n]的长度的最小值是

.

答案

3

解析令y=f(x)=2|x|,x