2023高考数学二轮复习专项训练《导数的综合问题》（含解析）

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的综合问题》一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知函数f(x)=ex-aln(axA.(0,e2] B.(0,e2.（5分）设f'(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，A.(-∞,-1) B.(-∞,-3)3.（5分）函数f(x)=13sin2x-aA.[-14,14]4.（5分）设函数f(x)=xlnx，g(x)=f'(x)x，给定下列命题 

①不等式g(x)>0的解集为(1e,+∞)； 

②函数g(x)在(0,e)A.1 B.2 C.3 D.45.（5分）已知函数f(x)=3x+A.(-∞,1) B.(1,+∞)6.（5分）已知函数f(x)=ex-e-A.(-∞,1) B.(-∞,1]7.（5分）设f(x)=13x3- 

A.(136,+∞) B.8.（5分）已知函数fx=xlnxaA.ln2,32ln3 B.二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）关于函数f(xA.函数fx的图像在点x=1处的切线方程为a-2x-y-a+4=0

B.x=2a是函数f10.（5分）对于函数f(xA.x=3是函数f(x)的一个极值点

B.f(x)的单调增区间是(-1,1)，(2,+∞)

C.f(x11.（5分）已知函数f(x)=xex-mxA.e B.2 C.8 D.1012.（5分）已知定义在(1,+∞)的函数f(x)，f'(x)为其导函数，满足1xfA.-e B.-2                         C.13.（5分）已知函数f(xA.函数y=f(x)存在极大值和极小值

B.f(e-2)<f(1)<f(三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知函数f(x)=x2+x-15.（5分）已知不等式ex-1⩾kx+16.（5分）已知函数f(x)=x|x17.（5分）已知函数f(x)=ex18.（5分）已知fx是定义在R上的奇函数且f1=0，当x∈0 四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）设函数f(x)=b⋅ln(x+1)+x2其中b≠0. 

(1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求b的取值范围； 

(2)20.（12分）已知函数f(x)=lnx+1x+ax. 

(1)若函数f(x)在1,+∞上是单调函数，求实数a的取值范围；21.（12分）已知函数f(x)=ex(1)求函数f((2)设g(x)=22.（12分）设a(1)若函数f(x)在[0,+(2)设a①证明：函数F(x)=②若存在实数t(t>a)，当x∈[0,t23.（12分）已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0)． 

(1)当a=3时，求曲线y=f

答案和解析1.【答案】B;【解析】 

此题主要考查函数的性质，导数研究函数的单调性和函数最值与不等式恒成立问题，属于较难题. 

先将问题转化为ex0-alnax0-a+a>0，其中ex0=ax0-1，代换后求得x0的范围，即可求得a的范围. 

解：由题意得f(x)的定义域为1,+∞，f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)， 

求导得f'x=ex-ax-1， 

令gx=ex-ax-1，则g'x=ex+ax-12>0， 

所以f'x=ex-ax-1在1,+∞上单调递增， 

由函数的单调性可得y=ex与y=ax-1在1,+∞有一个交点，记作x2.【答案】B;【解析】 

该题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 

令g(x)=f(x)-(3x+7)，x∈R，g(-3)=f(-3)+2=0.f(x)>3x+7⇔g(x)>g(-3).利用导数研究函数的单调性即可得出． 

解：令g(x)=f(x)-(3x+7)，x∈R，g(-3)=3.【答案】B;【解析】 

此题主要考查函数单调性的应用，不等式恒成立问题，换元法的应用，属于中档题. 

根据题意可得f(x1)-x1-[f(x2)-x2]x1-x2<0恒成立，即g(x)=fx-x在(-∞,+∞)上单调递减，求出g'(x)=43cos2x-acosx-53，可得g'(x)⩽0在(-∞,+∞)上恒成立，令cosx=t，则t∈[-1,1]，则43t2-at-53⩽0在4.【答案】B;【解析】 

该题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题． 

求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可． 

解：∵函数f(x)=xlnx，∴f'(x)=lnx+1， 

则g(x)=lnx+1x，g'(x)=-lnxx2， 

对于①，g(x)>0即lnx+1x>0，lnx+1>0，即x>1e故正确; 

对于②，g'(x)=-lnxx2，当x∈(0,1)时，g'(x)>0，g(x)递增，故错误; 

对于③，若x1>x2>0时，总有m2(x12-x22)>f(x1)-f(x2)恒成立， 

则m2x12-x1lnx1>m2x22-x2lnx2在(0,+∞)恒成立， 

令H(x)=m2x2-xlnx，(x>0)，H(x)在5.【答案】D;【解析】

此题主要考查了利用导数研究函数的单调性及函数的奇偶性，考查分析推理能力，属于基础题. 

利用偶函数定义得f(x)为偶函数，利用导数研究函数的单调性得函数f(x)在(0,+∞)单调递增，将不等式利用性质进行转化计算即可得到结论．

解：由题意知函数fx的定义域为R， 

又f-x=3-x+3x=fx， 

则函数fx为偶函数， 

当x>0时，y'=3xln3+6.【答案】D;【解析】 

此题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可． 

解：令g(x)=ex-e-x-mx，x∈(0,+∞)， 

则g'(x)=ex-e-x-m，x∈(0,+∞)， 

易得函数y=ex-e-x>2在x∈(0,+∞)恒成立， 

故当m⩽2时，g'(x)⩾0在x∈(0,+∞)恒成立， 

故g(x)在(0,+∞)递增，又g(0)=07.【答案】A;【解析】 

此题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数解决不等式恒成立问题.属于中档题. 

求出函数的导数，令导数等于0，得到x=-1或2,即可知f'x<0,-1<x<2，所以可得最大值为136，再根据当x∈[-2,2]时，f(x)<m恒成立，即可得到m>fxmax=163. 

解：f(x)=13x3-12x2-2x+1，f'x=x2-x-2， 

令f'x8.【答案】C;【解析】解：由f(x)=xlnxa，则由f'(x)=1+lnxa=0.可得，x=1e， 

当a>0时，x∈(0,1e)，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈(1e,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，且f(1)=0， 

因为不等式f9.【答案】ACD;【解析】 

此题主要考查了函数的单调性，最值问题，. 

对于A，求出f(1)，f'(1)，求出切线方程判断即可;对于B，求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断B错误即可；对于C，代入a的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值即可；对于D，代入a的值，求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为关于x的不等式组，解出即可. 

解：f(x)的定义域是(0,+∞)， 

f'(x)=ax-2x2， 

对于A:x=1时，f(1)=2，f'(1)=a-2， 

故过(1,2)，k=a-2的直线方程是：y-2=(a-2)(x-1)，即(a-2)x-y-a+4=0，故A正确； 

对于B:f'(x)=ax-2x2=ax-2x2，a⩽0时，f'(x)<0，f(x)在(0,+∞)10.【答案】ACD;【解析】 

此题主要考查导数与函数单调性判断，函数极值计算，函数零点个数判断，属于中档题． 

利用导数判断函数单调性，计算极值，根据单调性和极值即可判断． 

解：f'(x)=16x+1+2x-10=2(x-1)(x-3)x+1(x>-1)， 

∴当-1<x<1时，f'(x)>0，当1<x<3时，f'(x)<0，当x>3时，f'(x)>0， 

∴f(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增， 

故x=3是f(x)的极小值点，故A11.【答案】CD;【解析】 

此题主要考查利用导数研究函数的单调性解决函数的零点问题，函数图象的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化， 

求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键，属较难的题. 

利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 

解：由f(x)=xex-mx+m2=0得xex=mx-m2=m(x-12)， 

当x=12时，方程不成立，即x≠12，则m=xexx-12， 

设h(x)=xexx-12(x>0且x≠12)， 

则h'(x)=xex'x-12-xexx-122=exx2-12x-12x-122 

=12ex(x-1)(2x+1)x-122， 

∵x>0且x≠12， 

∴由h'(x)=0得x=1， 

当x>1时，h'(x)>0，函数为增函数，当0<x<1且x12.【答案】AB;【解析】 

此题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于较难题． 

由题意设g(x)=f(x)lnx+x2，则g'(x)=1xf(x)+f'(x)lnx+2x=0，故g(x)=C(C为常数)，由f(e)=-e2，可得g(e)=0，则g(x)=0，从而f(x)=-x2lnx.不等式f(x)⩽ax对x∈(1,+∞)成立，即-x2lnx⩽ax，化简分离得-xln13.【答案】BCD;【解析】 

此题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查了函数图象交点的确定，体现了数形结合思想的应用，属于较难题. 

利用导数研究函数单调性可判断AB；令f(x)=0，解得x=0，即可判断C；结合h(x)=x2ex与y=k的交点可判断D.解：函数f(x)=x3ex，则f'(x)=3x2-x3ex=x2(3-x)ex， 

当x>3时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x<3时，f'(x)⩾0，f(x)单调递增. 

故当x=3时，f(x)取得极大值，f(x)无极小值，故A错误； 

∵0<e-2<1<lnπ<3，∴f(e-2)<f(1)<f(lnπ)，故B正确； 

由f(14.【答案】[-2,1];【解析】 

此题主要考查导数中的恒成立问题，考查学生转化能力，属于较难题. 

换元t=2x-1∈[1,+∞),转化为(t2+12)2+t2+12-at-a2⩾0，即t4+4t2+3-4at-4a2⩾0(t⩾1)，构造函数f(t)=t4+4t2+3-4at-4a2(t⩾1)，利用导数求出函数最值，即可求出实数a的取值范围. 

解：设15.【答案】e-【解析】 

此题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题． 

不等式ex-1⩾kx+lnx，对于任意的x∈(0,+∞)恒成立，等价于k⩽ex-1-lnxx对于任意的x∈(0,+∞)恒成立．求得f(x)=ex-1-lnxx(x>0)的最小值即可求得k的取值． 

解：不等式ex-1⩾kx+lnx，对于任意的x∈(0,+∞)恒成立． 

等价于k⩽ex-1-lnxx对于任意的x∈(0,+∞)恒成立． 

令f(x)=ex-1-lnxx，(16.【答案】274【解析】 

此题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于较难题． 

对a进行分情况讨论，得只有a>0时，函数有可能有三个零点，再讨论a>0时，方程f(x)=0零点个数，将其转化为两个函数交点个数，借助函数图像求解. 

解：(1)a=0时，f(x)=x|x2|=x3，只有一个零点，不合题意； 

(2)a<0时，f(x)=x(x2-a)-a=x3-ax-a，f'(x)=3x2-a>0，f(x)在R上单调递增， 

所以，f(x)=x3-ax-a=0不可能有3个解，也不合题意； 

(3)a>0时，f(x)=x|x2-a|-a=0，x≠0得|x2-a|=ax， 

画出函数：g(x)=|x2-a17.【答案】{m|m≤ln2-12【解析】解：根据题意，函数f(x)=ex-2x+2m，则其导数f'(x)=ex-2， 

令f'(x)=ex-2=0可得x=ln2， 

分析可得：在(-∞,ln2)上，f'(x)<0，函数f(x)为减函数，在(ln2,+∞)上，f'(x)>0，函数f(x)为增函数， 

则f18.【答案】-∞ 【解析】 

此题主要考查函数奇偶性的应用以及导函数与函数单调性的关系，构造函数g(x)=f(x)x，得到函数的单调性以及奇偶性即可解不等式. 

解：令g(x)=f(x)x，当x>0时，g'(x)=xf'(x)-f(x)x2>0，此时函数单调递增，又因为g(x)是偶函数，所以当x<0时，g(x)单调递减， 

19.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域在(-1,+∞)， 

由f'(x)=2x2+2x+bx+1， 

令g(x)=2x2+2x+b， 

则g(x)在(-12,+∞)上递增，在(-1,-12)上递减， 

∴g(x)min=g(-12)=-12+b， 

当b>12时，g(x)min=-12+b>0， 

g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立， 

所以f'(x)>0即当b>12时，函数f(x)在定义域(-1,+∞)上单调递增; 

(2)由(1)知当b>12时函数f(x)无极值点． 

当b=12时，f'(x)=2(x+12)2x+1， 

∴x∈(-1,-12)时，f'(x)>0， 

x∈(-12,+∞)时，f'(x)>0， 

∴b=1【解析】本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，参数的取值，导数的应用，是一道综合题． 

(1)由f'(x)=2x2+2x+bx+1，令g(x)=2x2+2x+b，则g(x)在(-12,+∞)上递增，在(-1,-12)上递减，从而g(x)min=g(-12)=-12+b，当b>12时，g(20.【答案】解：(1)f'(x)=1x-1x2+a=ax2+x-1x2，x∈1,+∞, 

由于函数f(x)在1,+∞上是单调函数， 

∴f'(x)⩾0或f'(x)⩽0对任意x∈1,+∞恒成立，即ax2+x-1⩾0或ax2+x-1⩽0对任意x∈1,+∞恒成立， 

∴a⩾1x2-1x或a⩽1x2-1x对任意x∈1,+∞恒成立， 

令t=1x【解析】此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，是中档题. 

(1)先由已知函数求其导数，由题意f'(x)⩾0恒成立或f'(x)⩽0恒成立，由此解得a范围. 

(2)f(21.【答案】 

解：(1)因为f(x)=ex(x+a)， 

所以f'(x)=ex(x+a+1). 

由f'(x)>0，得x>-a-1； 

由f'(x)<0，得x<-a-1. 

所以f(x)的增区间是(-a-1,+∞)，减区间是(-∞,-a-1). 

(2)因为g(x)=f(x-a)-x2=xex-a-x2=x(ex-a-x). 

由g(x)=0，得x=0或ex-a-x=0. 

设h(x)=ex-a-x， 

又h(0)=e-a≠0，即x=0不是h(x)的零点， 

故只需再讨论函数h(x)零点的个数． 

因为h'(x)=ex-a-1， 

所以当x∈(-∞,a)时，h'(x)<0，h【解析】此题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点等问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于较难题． 

(1)求导，解关于导函数的不等式即可得出结论； 

(2)分析可知，只需讨论函数h(x22.【答案】解：(1)显然x⩾0.当a⩽0时，fx=xx-a=xx-a，f'x=32x12-12ax-12⩾0， 

所以fx在[0,+∞)上单调递增，符合题意； 

当a>0时，fx={xa-x,0⩽x⩽axx-a,x>a， 

此时，x=a为fx=0的零点，显然不单调； 

综上，实数a的取值范围为a⩽0. 

(2)①即证明方程xx-a=12x有三个不同的根． 

可化为x=0或2x-a=x， 

上式可化为x2-2a+14x+a2=0， 

设gx=x2-2a+14x+a2， 

又g0=a2>0， 

对称轴x=a+18>0， 

且Δ=a+116>0【解析】此题主要考查利用导数研究函数的单调性零点及值域问题，属于难题. 

(1)分类讨论当a⩽0时，求导易知fx在[0,+∞)上单调递增 

当a>0时x=a为fx=0的零点，显然不单调； 

(2)①即证明方程xx-a=12x有三个不同的根．可化为x=0或2x-a23.【答案】解：（1）当a=3时，f（x）=x2-3lnx， 

∴f'（x）=2