量子力学课件：03讲-Schrodinger Equation

1量子力学波函数及其统计解释粒子的动量分布不确定度关系——进一步讨论21、自由粒子的波函数既然粒子具有波动性，那么就应该用一个反映波动的函数来加以描述。由平面波公式借助德布罗意公式：v=E/h，λ=h/p和得到也可以写作简短回顾32、一般粒子的波函数及其物理意义当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用这样简单的函数来描述，但总可以用某个波函数来描述这个粒子的特性。问题是，该如何理解波函数所代表的物理意义呢？

任意粒子的波函数可以看作无限多个平面波的叠加4如何理解粒子的波动性？对实物粒子的波动性有两种误解：（1）认为粒子是一个物质波包；波包会扩展（2）认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。单个电子具有波动性波函数的玻恩（MaxBorn,1926年）几率诠释几率波描述粒子波动性的函数称为波函数该如何理解波函数的物理意义？为此，人们提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物理意义的一种理解。5量子力学的基本假定之一基本假定Ⅰ：波函数假定微观粒子的状态可以被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般满足连续性、有限性和单值性三个条件。说明：波函数一般是粒子坐标和时间的复函数，波函数的模方代表粒子空间分布的概率密度。6

动量分布概率（1）设，则表示粒子出现在点附近的概率。设为粒子的动量，那么粒子具有动量的概率如何表示？平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开7

动量分布概率（2）其中，可见，代表中含有平面波的成分，因此，应该代表粒子具有动量的概率。8严格证明表明，对一般粒子，有物理意义：粒子的坐标和动量不可能同时被准确测量。或者说，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值。不确定度关系9不确定度关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提“空间某一点x的波长”。从而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二象性，“微观粒子在空间某一点x的动量”，这样的提法也没有意义。所以，对一个给定点x，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。六、不确定度关系10量子力学中的力学量力学量的平均值

算符薛定谔方程量子力学的基本假设11不确定度关系与力学量的平均值通过举例得到，由此得知一般情况下x和p不能同时确定。这样可以提出一个问题:x和p的平均值可否确定？

由此引申出：力学量的平均值12

二、力学量的平均值——坐标(1)既然表示粒子出现在点附近的概率，那么粒子坐标的平均值，例如的平均值，由概率论，有又如，势能V是的函数：，其平均值由概率论，可表示为13

动量的平均值与动量分布概率（1）设，则表示粒子出现在点附近的概率。设为粒子的动量，那么粒子具有动量的概率如何表示？平面波的波函数为任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开14

动量的平均值与动量分布概率（2）其中，可见，代表中含有平面波的成分，因此，应该代表粒子具有动量的概率。15二、力学量的平均值(2)——动量再如，动量的平均值为：对比和提出两个问题：1、为什么不能写成2、能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？由此引申出量子力学中特有的概念：力学量的算符16三、力学量用算符表示(1)当算符

作用到平面波波函数上，有算符：对波函数的一种运算17三、力学量用算符表示(2)动量的平均值以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为18三、力学量用算符表示(3)动量的平均值，用以动量为自变量的波函数表示用以坐标为自变量的波函数表示其中，为动量的算符，即：动量算符记住！19三、力学量用算符表示(4)动能，动能算符动能平均值角动量，角动量算符角动量平均值20波函数及其统计解释坐标以及动量平均值的计算动量算符力学量用算符表示21三、力学量用算符表示(5)力学量的平均值为其中，为力学量的算符。问题：坐标的平均值可否表示为可以，其中平均值与坐标（表象）的选择无关算符的形式与坐标（表象）的选择有关22

三、力学量用算符表示(6)描述粒子状态的波函数，可以由平面波的叠加来表示对这个波函数关于时间做偏微商，有因此，

能量算符利用能量算符，可以从形式上给出量子力学中的基本方程：薛定谔方程23四、薛定谔方程（1）粒子的能量两边同乘粒子的波函数薛定谔方程

量子力学的基本假设之一：波函数的时空演化满足薛定谔方程记住！24四、薛定谔方程(4)E.薛定谔（1887-1961）NobelPrizeinPhysics(1933)

“我确信，通过薛定谔的关于量子条件的公式表述，已作出了决定性的进展。在这些对量子规则作深刻阐明的新尝试中，我最满意的是薛定谔的表述方式。”——A.Einstein25

连续性方程－薛定谔方程的推论薛定谔方程（1）由，得令

得到连续性方程

四、薛定谔方程（2）概率密度概率(粒子)流密度26四、薛定谔方程(6)连续性方程的回顾：电磁学中：为电荷密度，为电流密度。由Guass定理：27四、薛定谔方程(7)电磁学：左边表示在区域内电荷在单位时间内的增量，右边单位时间内通过的封闭表面流入内的总电流。电荷守恒量子力学：左边表示在区域内找到粒子概率单位时间内的增量，右边单位时间内通过的封闭表面流入内的概率。概率守恒粒子数目在全空间中保持不变28四、薛定谔方程（4）

能量本征方程薛定谔方程若不显含，则可令，有因此，有和因此，满足的方程称为能量本征方程，称为能量本征函数，称为能量本征值29算符的本征方程数学中，形如的方程，称为算符A的本征方程。其中对方程算符被称为哈密顿算符，因为本征值E具有能量的量纲，故此方程被之为能量本征方程，被称为能量本征函数，E被称为能量本征值。动量本征方程矩阵的本征方程30五、量子力学的基本假设（1）1、微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。2、力学量用厄米算符表示，表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。3、体系的状态波函数满足薛定谔方程：五条基本假设31五、量子力学的基本假设（2）4、将体系的状态波函数用算符的本征函数展开，其中：则在体系态中测量力学量得