第7章非线性控制系统分析

第七章非线性控制系统分析7.1引言7.2非线性控制系统概述7.3常见非线性特性分析7.4描述函数法7.1引言理想的线性系统并不存在7.2.非线性控制系统概述1.不能应用叠加原理2.稳定性分析复杂平衡状态无外作用，且系统输出的各阶导数等于0线性系统：只有一个平衡状态线性系统的稳定性，即该平衡状态的稳定性非线性系统可能存在多个平衡状态一、非线性系统的特点令可知系统存在两个平衡状态x=0和x=1(7.2.1)解(7.2.1)式积分得x=0平衡状态稳定。x=1平衡状态不稳定。系统3.可能存在自激振荡自激振荡没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动,简称自振。范德波尔方程vander

polequationx<1,系统负阻尼,吸收能量x>1,系统正阻尼,消耗能量x=1,系统零阻尼,等幅振荡4频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率达正弦信号分量(基频分量)外,还含有ω的高次谐波分量。y(t)ωty(t)ωty(t)ωt1.死区特性其中7.3常见非线性特性分析若系统存在多个死区将死区折算到测量元件的位置测量元件放大元件执行元件可通过提高前级元件的增益来减小死区效应y=f(x)设非线性特性其中输入为x,输出为y等效增益死区特性非线性特性的等效增益增益减小增大了系统的稳态误差，降低了稳态精度。2.饱和特性具有不灵敏区的饱和特性增益减小等效增益饱和特性带饱和的位置伺服系统增益下降使系统超调量减小，平稳性变好。增益下降降低系统稳态精度。间隙（滞环）特性

间隙特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入--输出曲线上出现闭合环路。

其数学表达式为：

例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。增大稳态误差，降低稳态精度。yx滞环特性0b-ba-a4.继电特性等效增益振荡加剧、稳态误差增大。能够使被控制的执行装置在最大输入信号下工作，充分发挥其调节能力。7.4描述函数法1.描述函数的定义分析无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振问题。一、描述函数的基本概念非线性环节y=f(x)当输入为正弦信号输出为非正弦的周期信号展成傅立叶级数若系统非线性环节奇对称，则有A0=0

由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn越小。此时若系统高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即

类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示，即

由非线性环节描述函数的定义可以看出：

(1)描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。线性系统频率法的推广。（2）描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。一般来说，它应该是输入信号幅值和频率的函数，但对于绝大多数的实际非线性元件，由于不包括储能元件，它们的输出仅是幅值的函数，与频率无关，故常用N(A)表示。

二、典型非线性特性描述函数饱和特性正弦输入输出其中，y(t)ωt由于为单值，且关于原点对称的奇函数所以，A0=0,A1=0所以描述函数为例

设继电器特性为试计算该非线性特性的描述函数。解设输入x=Asinωt描述函数为三、描述函数法的应用条件(1)非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分串联的典型结构。(2)非线性环节的输出特性y(t)应是x的奇函数，即f(x)=-f(-x)以保证正弦响应不含有常值分量，即A0=0(3)线性部分具有较好的低通滤波特性高频谐波滤除，近似只有一次谐波流通。设有两非线性系统，它们的非线性部分一样线性部分分别为(1)(2)当用描述函数法分析时，对哪个系统分析的准确度高？为什么?三、非线性系统的简化1.非线性环节的并联并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。2.非线性环节的串联3.线性部分的等效变换特征方程特征方程等效等效开环传递函数稳定性一致特征方程多项式Q(s)+NP(s)=0结构图梅逊公式特征方程等效变换四、非线性系统稳定性分析的描述函数法1.线性系统的稳定性分析闭环系统的特征方程为或由奈氏判据知，当гG曲线不包围临界点（-1，j0）系统稳定Z=P-2N=-2N=0频域中为P=0设K为比例环节增益闭环系统的特征方程为或由奈氏判据知，当гG曲线不包围系统稳定Z=P-2N=-2N=0频域中为P=0G(s)的极点均位于s的左半平面，即P=0或由奈氏判据知，当гG曲线不包围系统稳定若K在一定范围内可变，则为实轴上一条直线段当гG曲线不包围该直线段，系统稳定2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性G(s)的极点均位于s的左半平面，即P=0或当гG曲线不包围系统稳定若K在一定范围内可变当K为复数，为复平面上一条线段当гG曲线不包围该线段，系统稳定若K＝N(A)N(A)非线性系统特征方程为即当гG曲线不包围,系统稳定负倒描述函数G(jω)奈奎斯特曲线如图非线性系统特征方程为即当гG曲线不包围,系统稳定当гG曲线包围

,系统不稳定例

已知非线性系统结构如图试分析系统的稳定性。解非线性环节为库仑摩擦加黏性摩擦查表得描述函数负倒描述函数起点终点趋势：沿实轴单调-2画线性环节的G(jω)-2-8起点终点穿越点-2-8гG曲线包围

,系统不稳定。3.非线性系统存在周期运动时的稳定性分析当гG曲线和曲线有交点,系统临界稳定。交点处或结论：若负倒描述函数曲线沿着A增大的方向，由稳定区域到不稳定区域，则交点处的周期运动不稳定，不能产生自激振荡；若负倒描述函数曲线沿着A增大的方向，由不稳定区域到稳定区域，则交点处的周期运动稳定，产生自激振荡。振荡幅值为A，频率为ω周期运动稳定周期运动不稳定例设具有饱和非线性的控制系统如图1)分析K=15时非线性系统的运动特性。2)欲使系统不出现自振荡，确定K的临界值。解1)查表得饱和非线性特性的描述函数为取求导得N(u)为u的增函数,N(A)为A的减函数为A的减函数起点:终点:曲线如图线性部分G(s)在K=15时，作гG曲线得穿越频率该处坐标-1所以两曲线有交点(-1,j0)沿A增大方向,由不稳定区进入稳定区,存在稳定周期运动。求交点处ω和A，即周期运动的ω和A即解得A=2.5所以非线性环节输入为x(t)=2.5sin7.07t。2)为使该系统不出现自振荡,应调整K,使гG与曲线无交点即所以K=7.5的гG曲线如图习题1.求系统等效线性部分的传递函数2.分析是否产生自激振荡，若产生，求c(t)的振幅和频率。若将图(a)所示的非线性系统简化为图(b)所示的系统1.求线性部分的传递函数G(s)2.设系统处于稳定自振状态时，线性环节G(s)=的相角滞后量为130°。求此时的k值，并确定系统的自振频率、幅值。结构图（