第5章频率特性

1第5章频率特性法5.1频率特性的基本概念5.2极坐标图（奈氏图）5.3伯德图5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性5.6系统频率特性与时域性能的关系5.7MATLAB用于频域分析

时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难以确定该如何调整系统的结构或参数。在工程实践中,往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法。控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。

频率特性分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能,得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。频率特性分析法的特点②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难以用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。

④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。5.1频率特性的基本概念5.1.1

频率响应

频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。示例：如图所示一阶RC网络，ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为RC

RC网络ui(t)u0(t)i(t)其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即ui(t)=Uisint，Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。输出的拉氏变换为：

对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：输出与输入相位差为：

=-arctanTω输入信号为ui(t)=Uisint

二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数有关。稳态输出与输入幅值比为：14频率特性与传递函数的关系设线性定常系统的传递函数为若：则：15拉氏反变换为：若系统稳定，则极点-pi都在s左半平面。当，即稳态时：式中，分别为：16而17表明：对于一般的线性定常系统（或元件）输入正弦信号时，系统的稳态输出信号，即频率响应是与输入同频率的正弦信号，但幅值和相位不一样。线性系统(或元件)

对系统的频率响应作进一步的分析，稳态输出与输入的幅值比和相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率ω有关。因此，频率特性可定义为：

线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比和相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。

频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，在频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。5.1.2频率特性的定义19频率特性为系统频率响应与输入信号的复数比，常用

或表示：称为幅频特性，它等于频率响应输出幅值与输入信号幅值之比；称为相频特性，它是稳态输出超前输入的相位。

20将中的s用jw代替即得系统的频率特性。频率特性与微分方程和传递函数一样，是系统在频域的数学模型，它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。各种数学模型之间的关系频率特性的物理意义1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。3.频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。频率特性的物理意义235.1.3频率特性的表示方法

频率特性的解析式频率特性是复变函数，它在复平面上的向量如图所示表示，它可以用以下几种形式的解析式表示。幅频-相频形式：指数形式：三角函数形式：实频-虚频形式：242.频率特性常用的图形⑴幅频特性、相频特性图在直角坐标系内，以频率为横坐标，分别作出的幅频、相频特性曲线。

⑵极坐标图--也称幅相特性图、奈奎斯特（Nyquist）图，简称奈氏图它是在复平面上用一条曲线表示由时的频率特性。即用矢量的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w为参变量画出幅值与相位之间的关系。25

优点：在一张图上绘出整个频率域的频率响应特性；缺点：不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环节的作用。由于幅频特性是w的偶函数，而相频特性是w的奇函数，所以当w从0→∞的频率特性曲线和w从－∞→0的频率特性曲线是对称于实轴的。26（3）对数频率特性曲线（伯德图，Bode图）

Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。⒈伯德图坐标的分度：横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w

的对数值lgw

进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w

的值，因此对w

而言是非线性刻度。w

每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w

的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：由于w以对数分度，所以零频率点在－∞处。27更详细的刻度如下图所示28纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以L(w)=20lgA(w)表示。其单位为分贝(dB)。直接将20lgA(w)值标注在纵坐标上。

相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。

当幅值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20lg(幅值)对数坐标系302.使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。31所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示。对实验测得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。5.2幅相频率特性及其绘制5.2.1幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念

绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点,极坐标轴为直角坐标的实轴。由于系统的频率特性表达式为

G（jω）=A(ω)·

ej

对于某一特定频率ω下的G(jω)总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A(ω)，与正实轴的夹角为(ω)。

由于A()和()是频率的函数，当ω在0→∞的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同ω下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如图所示。

G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)w

极坐标图的表示方法

Im

在绘制奈氏图时，常把ω作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是ω的偶函数，而相频特性与虚频特性是ω的奇函数，即G（jω）与G（-jω）互为共轭。

因此，假定ω可为负数，当ω在-∞→0的范围内连续变化时，相应的奈氏图曲线G（jω）必然与G（-jω）对称于实轴。ω取负数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。绘制奈氏曲线的具体步骤：1.用jω代替s，求出频率特性G（jω）2.求出幅频特性A(ω)与相频特性（ω）的表达式，也可求出实频特性与虚频特性，帮助判断G（jω）所在的象限。3.在0→∞的范围内选取不同的ω，根据A(ω)与（ω）表达式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量G（jω），将所有G（jω）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。1．比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K=const

频率特性表达式为：5.2.2典型环节的奈氏图

比例环节的幅频特性、相频特性均与频率无关。所以当由0变到，G(j)始终为实轴上一点，说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0º,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。2．积分环节积分环节的传递函数为：频率特性表达式为：

积分环节的幅相频率特性如图所示，在0＜＜的范围内,幅频特性与负虚轴重合。积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。3．微分环节纯微分环节的传递函数为：频率特性表达式为：

理想微分环节的奈氏图如图所示，在0＜＜的范围内,其奈氏图与正虚轴重合。可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。1．比例环节上一次课简单回顾：频率特性的定义典型环节的频率特性(部分)幅频特性相频特性实频特性虚频特性比例环节奈氏图2．积分环节3．纯微分环节低通滤波器高通滤波器4．惯性环节惯性环节的传递函数为：频率特性表达式为：低通滤波0ReIm1惯性环节G(jω)惯性环节奈氏图刚好是一个半圆，why?性质：惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为0º→-90º。证明：所以，惯性环节的奈氏图是一个以(1/2,

j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。以(K/2,

j0)为圆心，以K/2为半径的半圆5、一阶微分环节G(s)=(s+1)平行于正虚轴向上无限延伸的直线。一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大。一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。

性质：6、振荡环节

几个重要的特征点:可以判断出虚频特性恒≤0，故曲线必位于第三与第四象限。振荡环节的奈氏图如图所示，且1＞2。特性曲线与负虚轴交点处频率为=1/T，幅值为1/(2)。由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；同时的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况。1.

＞0.707

幅频特性A()随的增大而单调减小，如上图中1所对应曲线，此时环节有低通滤波作用。当＞1时，振荡环节有两个相异负实数极点，若足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为1/(2)≈0，奈氏图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节，如图所示。2.

0≤≤0.707当增大时，幅频特性A()并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振角频率r，所对应的向量长度为谐振峰值Mr=A(r)。谐振表明系统对频率r下的正弦信号的放大作用最强。谐振角频率谐振峰值为

可见随的减小,谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率n，超调量σp也越大，系统的相对稳定性越差。当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

谐振角频率r和谐振峰值Mr如何确定？0ReIm1AB振荡环节G(jω)(0≤≤0.707)7、延迟环节幅频特性为：A()=1相频特性为：()=-单位为弧度（rad）。G(s)=e-sG(j)=e-j0ReIm延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心,半径为1的圆。即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。5.2.3开环奈氏图的绘制1.开环频率特性的性质则开环频率特性应该满足下面的规律（重要）

开环系统可表示为若干个典型环节的串联形式：设典型环节的频率特性为：(1)起点---低频段的确定（→0）

G(jω)H(jω)的低频段表达式为

根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为：假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点：2.开环奈氏图基本绘制规律1）

0型系统，v=0：2）Ⅰ型系统，v=1：

3）Ⅱ型系统，v=2：

4）Ш型系统，v=3：

开环奈氏图的起点起点（→0）

A(0)=K，(0)=0º起点为实轴上的一点(K，j0)。A(0)=∞，

(0)=-90ºA(0)=∞，(0)=-180ºA(0)=∞，(0)=-270º(2)终点---高频段的确定（

→∞）m为分子多项式的阶数，

n为分母多项式的阶数，若n>m终点为坐标原点决定特性曲线以什么角度进入坐标原点终点（→∞）1)(n-m)=1,开环奈氏图的终点2)(n-m)=2,3)(n-m)=3,4)(n-m)=3,则()=-90。则()=-180。则()=-270。则()=-360。(3)奈氏图与实轴、虚轴的交点

将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。1）曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0:

Im[G(j)]

=

0

求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。2）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0:

Re[G(j)]

=

0

求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。64

幅频特性和相频特性分别为1)起点和终点起点：终点：2)与负实轴的交点即，奈氏图与实轴交于

例5-1

设系统开环传递函数为,试绘制系统概略开环奈氏图。-60-0.83ImRe

解系统的频率特性为概略奈氏图精确图相位穿越频率0-25ImRe例5-2绘制的开环奈氏图。解：求交点：

曲线如图所示：解得无实数解，与虚轴无交点5.3对数频率特性及其绘制5.3.1

对数频率特性曲线基本概念

对数频率特性图（Bode图）将幅频和相频特性分别画出，并按对数分度运算，使系统的分析和设计变得十分简便。

1.伯德（Bode）图的构成

对数幅频特性图的横坐标是对

取以10为底的对数进行分度的。标注角频率的真值，以方便读数。每变化十倍,横坐标lgω就增加一个单位长度，记为decade或简写dec,称之为“十倍频”或“十倍频程”。横坐标对于ω是不均匀的，但对lgω却是均匀的线性分度。由于0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。

若横轴上有两点ω1与ω2，

则该两点的距离不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1。对数频率特性曲线坐标系如图所示，在求解函数关系时，相当于lgω为自变量。

纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度，用L()=20lgA(ω)表示。对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（o）

,仍用()表示。2．Bode图法的特点（1）横坐标按频率取对数分度，低频部分展宽，而高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（2）幅频特性取分贝数［20lg|G(jw)|］后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。（4）在控制系统的设计和调试中，开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。

5.3.2典型环节的伯德图1．比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K=const

频率特性表达式为：ωL(ω)/dB0dBω0°φ(ω)20lgK比例环节的Bode图比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号输出与输入同相位2．积分环节积分环节的传递函数为：频率特性表达式为：ω＝1时，L(ω)＝-20lg1=0dBω＝10时，L(ω)＝-20lg10=-20dB75①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec][-20dB/dec][-20dB/dec]②G(s)=10s1③

G(s)=5s90000-900相角均为-900是一条直线，斜率-20dB/dec积分环节对数频率特性曲线0.01

放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强。积分环节是低通滤波器？输出滞后输入的相位恒为90º。77对数曲线求斜率的方法ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=对边邻边=La-Lbωa-ωb×lgωa-lgωb78例：求截止频率ωcL(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∴–(-21.94)–lg53．纯微分环节纯微分环节的传递函数为：频率特性表达式为：ω＝1时，L(ω)＝20lg1=0dBω＝10时，L(ω)＝20lg10=20dB0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[+20]微分环节L(ω)

理想微分环节与积分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以轴为基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以轴为镜象。可见，理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。4.惯性环节

(1)对数幅频特性

为简化对数幅频特性曲线的绘制，常常使用渐近对数幅频特性曲线（特别是在初步设计阶段）。1.低频段在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有

故在频率很低时，对数幅频特性可以近似用零分贝线表示，称为低频渐近线。2.高频段

在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为

L()为因变量，lg为自变量，因此对数幅频特性曲线是一条斜线,斜率为-20dB/dec,称为高频渐近线，与低频渐近线的交点为T

=1/T，T称为转折频率，是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。

如需绘制精确曲线，只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。？（2）对数相频特性

精确相频特性为:()=-arctan(ωT)；

对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-45°这一点斜对称，如图所示，可以清楚地看出在整个频率范围内，()呈滞后持续增加的趋势，极限为-90。

当惯性环节的时间常数T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。88①G(s)=10.5s+1②G(s)=100s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100惯性环节对数频率特性曲线[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90oω=1/T为惯性环节的转折频率转折频率ω=5转折频率ω=25．一阶微分环节1.低频段

在T<<1(或<<1/T)的区段，对数幅频特性可以近似用零分贝线表示，为低频渐近线。2.高频段

在T>>1(或>>1/T)的区段，可以近似地认为高频渐近线是一条斜线，

斜率为20dB/dec，当频率变化10倍频时，L()变化20dB。转折频率为T=1/T。

可知,一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像。精确曲线的修正方法也与惯性环节相同。但需要注意转折频率处T对应的精确值是L(T)=3dB。

一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。

一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。6．二阶振荡环节

（1）对数幅频特性

1.低频段T<<1(或<<1/T)时，L()20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线重合。（0≤≤1）2.高频段T>>1(或>>1/T)时，并考虑到（0≤≤1），有L()

-20lg(T)2

=-40lg(T)

=

-40lgT

-

40lg

(dB)这说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线，称为高频渐近线。T=1/T为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标，称为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率n。当ζ不同时振荡环节的对数频率特性曲线

可见0.4时，渐近线需要加尖峰修正。随的减小,谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率n。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。

当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

（2）相频特性

可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→-180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-90°这一点斜对称。振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；同时的取值对曲线形状的影响较大。振荡环节再分析0dBL(ω)dBω20lgK(0＜

＜0.707)[-40]0＜＜0.5

=0.50.5＜

＜1?提醒:对数幅频渐近曲线0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ζ<0.707时有峰值：7．二阶微分环节ωr8．延迟（纯滞后）环节

()是呈指数规律下降的曲线，随ω增加而滞后相位无限增加。

系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性Ф(jω)与开环频率特性G(jω)H(jω)

，分别对应于系统的闭环传递函数Ф(s)与开环传递函数G(s)H(s)。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。控制系统的开环频率特性为：

由除延迟环节之外的典型环节组成5.3.3开环伯德图的绘制1.基本规律（1）由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加，所以L()的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线。顺序斜率叠加法在绘制系统Bode图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。不必将各个典型环节的L(ω)绘出,而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L(ω)曲线,()曲线描点或叠加求取。（2）低频渐近线（及其延长线）的确定G(jω)H(jω)的低频段表达式为()=-v90°对数频率特性的低频渐近线表达式为可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数v有关。

低频段为一条斜率为-20v（dB/dec）的斜线。同时，低频渐近线（及其延长线）上在=1时,有L(1)=20lgK。（3）转折频率及转折后斜率变化量的确定低频段只与积分环节的个数v

及开环传递系K

有关，而其他典型环节的影响是在各自的转折频率处使L()的斜率发生相应的变化。在惯性环节的转折频率1/T处，斜率-20dB/dec；在一阶微分环节G(s)=(Ts+1)的转折频率1/T处，斜率+20dB/dec；在振荡环节的转折频率1/T处，斜率-40dB/dec。（4）最终斜率与最终相位滞后与n-m的关系当→时,由于n＞m，所以高频段的近似表达式为()=-（n-m）·90°对数频率特性的高频渐近线表达式为高频段为一条斜率为-20（n-m）dB/dec的斜线。说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与（n-m）有关。()=-(n-m)·90°2．绘制步骤利用规律，可以从低频到高频，将L()整条曲线一次画出，步骤如下：

1．开环传递函数写成标准的时间常数表达式，确定各典型环节的转折频率。

2．选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为最高转折频率的10倍左右。确定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。

3．确定低频渐近线（由积分环节个数v与开环传递系数K决定），找到横坐标为

ω=1、纵坐标为20lgK

的点，过该点作斜率为-20v

dB/dec

的斜线。

4.由低频向高频延伸，每到一个转折频率，斜率根据具体环节作相应的改变，最终斜率为-20(n-m)dB/dec。5．如有必要，可对分段直线进行修正，以得到精确的对数幅频特性，其方法与典型环节的修正方法相同。通常只需修正各转折频率处以及转折频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。系统开环对数幅频特性L()通过0分贝线,即

L(c)=0或A(c)=1时的频率c称为幅值穿越频率。幅值穿越频率c

是分析与设计时的重要参数。6．在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特性曲线，将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。也可求出()的表达式，逐点描绘。低频时有()=-v90，最终相位为()=-(n-m)90。7.若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。例5-5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制的L(ω)曲线低频段：时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]例5-6

已知系统传递函数

试作系统对数幅频L(w)和相频(w)。

解：

(1)作L():/s-1L()/dB0.11011002040-20-400A-20dB/dec0.2B-40dB/decC-20dB/decD-60dB/dec123(2)作():114例5-7

已知系统开环传递函数为试绘制系统开环对数频率特性曲线。解（1）系统有放大、积分、振荡、惯性、一阶微分5个基本环节转折频率确定点：

斜率：-20dB/dec

（1型系统）（3）绘制中、高频段渐近线。斜率转折：-20dB/dec—-40dB/dec—-20dB/dec—-60dB/dec（4）绘制系统开环对数相频特性曲线.系统开环相频特性为（2）低频段直线。1155.3.3最小相位系统和非最小相位系统

“最小相位”这一概念来源于网络理论。它是指具有相同幅频特性的一些环节，其中相角位移有最小可能值的,称为最小相位环节;反之，其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节。1.基本概念控制系统的开环传递函数一般是关于s的有理真分式，系统的性质是由开环传递函数的零点与极点的性质决定的。（1）如果系统传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统（由除延迟环节之外的典型环节组成），如（2）系统传递函数在右半s平面上有一个(或多个)零点或极点，称为非最小相位系统；根据零极点的不同，一般分为以下两种系统：显然G1(s)属于最小相位系统。这两个系统幅值相同，具有同一个幅频特性，但它们却有着不同的相频特性。下面以一个简单例子来说明最小相位系统的慨念。两者的对数幅频特性是相同的，而相频特性则有1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT从传递函数看,这二者均有相同的储能元件数，但是由于G2(s)的零点在右半s平面，它产生了附加的相位滞后位移，因而

G1(s)具有较小的相位变化范围（0°，-90°），为最小相位环节；而G2(s)为非最小相位环节，相位变化范围较大（0°，-180°）。

从波德图上看，最小相位系统为具有相同幅频特性的许多系统中其相移范围为最小可能值的系统。2、性质☆ (1)最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性是一一对应的。也就是说，对于最小相位系统，一条对数幅频特性只有一条对数相频特性与之对应，知道其对数幅频特性，也就知道其对数相频特性。因此，利用Bode图对最小相位系统进行分析时，往往只分析其对数幅频特性L()。(2)最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L()的斜率减小（或增大），则()的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L()的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。1233.最小相位系统的传递函数最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。

例5-8

最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，试确定系统的传递函数。由对数幅频渐近特性求传递函数是伯德图曲线绘制的逆问题。解由图可确定系统的传递函数形式为再由解得5.4奈奎斯特稳定判据

系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征根都具有负实部，即位于s左半平面。在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法就是使用劳斯判据。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时,也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。

除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有：1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。

127F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点ds都可以在F(s)平面上找到一个相应的点df，

df称为ds在F(s)平面上的映射。

F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。[例]辅助方程为：，则s平面上点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点为（0，-j1）,见下图：5.4.1幅角定理(数学基础)128同样，在s平面上任取一条不通过F(s)的任一零点和极点的封闭路径Γ，当s从封闭路径Γ上任一点起顺时针沿Γ运动一周回到该点时，则对应F(s)平面上的映射ΓF亦会是一条封闭路径。如图所示。

幅角定理设s平面封闭路径Γ包围了F(s)的Z个零点、P

个极点，则当s沿Γ按顺时针方向运行一周时，平面上的映射ΓF逆时针包围原点的圈数为:

R＝P–Z当R＜0时，表示ΓF顺时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围F(s)平面的原点。1295.4.2奈奎斯特稳定判据设如图所示系统的开环传递函数为构造辅助方程其中，——为系统的开环零点；——为F(s)的零点，也是特征方程的根；（判稳欲知）——为F(s)的极点，也是开环传递函数的极点。（已知）

130对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。131应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。假设：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射曲线逆时针包围原点的次数应为：

R＝P–Z

＝开环系统右半极点数－闭环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由R判断闭环右极点数。完成这个设想需要解决两个问题：2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数R，并将它和开环频率特性相联系？1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足幅角定理的？133第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向作一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示，分为三部分：

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ①正虚轴：s=jw，②右半平面上半径为无穷大的半圆：③负虚轴：s=jw，134F(s)平面上的映射是这样得到的：②以代入F(s)，令

，得第二部分的映射；得到映射曲线后，就可由幅角定理计算R=P－Z，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。若已知P，并能确定R，可求出Z=P－

R。当Z=0时，系统稳定；否则不稳定。①以s=jw

代入F(s)，令w从0→∞变化，得第一部分的映射；③以s=jw

代入F(s)，令w从－∞→0，得第三部分的映射。135奈奎斯特路径的第Ⅰ部分的映射是曲线向右移1；第Ⅱ部分的映射对应，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的关于实轴的对称。①由可求得，而是开环频率特性。一般在中，分母阶数比分子阶数高，所以当

时，，即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅助方程为，为开环传递函数。因此，有以下三点是明显的：

136②F(s)对原点的包围，相当于对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数R与对(-1,j0)点的包围的次数一样。③F(s)的极点就是的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数。1372.奈奎斯特稳定判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是，系统开环频率特性曲线逆时针包围临界点(-1,j0)点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P(Z=0)。

对于最小相位系统，P

=0,系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线不包围(-1,j0)点。奈氏曲线不包围(-1,j0)点，则系统稳定；反之，奈氏曲线包围(-1,j0)点，系统不稳定(s右平面特征根数Z=P-R)；若奈氏曲线穿越(-1,j0)点，系统临界稳定。稳定系统不稳定系统临界稳定系统138例5-9

系统的开环传递函数为，试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性.解系统开环传递函数在s右半平面上没有极点，即P＝0。系统开环频率特性开环奈氏图：起点终点与负实轴无交点，再根据对称性作图。由图可知，奈氏曲线不包围（-1，j0）点，即R＝0，所以Z＝P－R＝0。这表示对于任意正值K、T1和T2，该闭环系统都是稳定的。139例5-10

已知单位反馈系统的开环传递函数试用奈氏判据确定使该闭环系统稳定的K值范围。解开环系统频率特性为开环奈氏图：起点终点与负实轴相交于点（-K,j0)，根据对称性作出奈氏曲线如图。当K＞1，R＝1=P，闭环系统稳定。则Z＝P－R＝01403．含有积分环节系统的奈氏判据设系统的开环传递函数为可见，在原点有重0极点。也就是在s=0点，不解析，若取奈氏路径同上时（即通过虚轴的整个s右半平面），不满足幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。141④半径为无穷小的右半圆，下面讨论对于这种奈奎斯特路径的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的奈氏图，关于实轴对称；2、第Ⅱ部分：，。假设

的分母阶数比分子阶数高；ⅠⅡⅢⅣ①正虚轴：②右半平面上半径为无穷大的半圆：③负虚轴：奈氏路径由以下四部分组成：142(b)对于Ⅱ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆（顺时针）。3、第Ⅳ部分：（右半无穷小半圆）

(a)对于Ⅰ型系统：将奈氏路径中的点代入中得：143实际上，当系统的开环传递函数为则若s沿小半圆弧绕行时，（其中）可见，当s从沿无限小半圆弧到时，由

逆时针转过时，其在GH平面上的映射就是一个顺时针转过的半径为无穷大的圆弧。144例5-7

设系统开环传递函数为试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。解

1型系统，奈氏路径应是图5-23b所示的闭合曲线Γ。系统的幅频特性和相频特性开环奈氏图：起点终点与负实轴有交点,令，解得与负实轴的交点频率，交点（-0.4,j0)。

增补奈氏路径小半圆的映射：从的映射点开始顺时针转过到映射点的无穷大圆弧。可见，奈氏曲线对(-1,j0)点的包围圈数R＝0，P=0，系统是稳定的。1455.4.3伯德图上的奈奎斯特稳定判据

1.正、负穿越的奈氏判据奈氏曲线对

(-1,

j0)点的包围可以用正、负穿越的概念来表示：正穿越—从上向下穿过

(-1,

j0)点左侧负实轴,用N+表示；负穿越—从下向上穿过(-1,

j0)

点左侧负实轴,用N-表示；起始于负实轴或终止于负实轴时，穿越次数定义为0.5次。设N为时开环奈氏曲线在(-1,j0)点左侧穿越负实轴的次数，则有：正、负穿越概念的奈奎斯特稳定判据：

闭环系统稳定的充要条件是，当时，开环奈氏曲线在点（-1，j0）左侧负实轴上正、负穿越的次数之差为P/2。w增加时，相角增大146如果开环传递函数G(s)H(s)包含积分环节，且假定个数为v

，则绘制开环奈氏曲线后，应从与频率0+

对应的点开始，逆时针方向补画v/4个半径无穷大的圆。1471482.伯德图的奈氏判据

开环奈氏曲线与伯德图之间的对应关系：

1）极坐标图上单位圆与伯德图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于dB，单位圆的内部对应于dB。

2）极坐标图上负实轴与伯德图上的线相对应。伯德图上的正、负穿越

开环奈氏曲线对(-1,j0)点左侧负实轴的正、负穿越，对应于伯德图上，在dB的频段内相频特性曲线

对线的穿越。负穿越——相频特性曲线从上而下对的穿越。正穿越——相频特性曲线从下而上对的穿越；150伯德图上的奈奎斯特稳定判据：设P为开环传递函数正实部极点个数，闭环系统稳定的充要条件是，当时，在开环对数幅频特性上dB的频段内，对数相频特性穿越线的次数为P/2。151例5-9

单位反馈系统的开环传递函数为试用伯德图分别确定K=2和K=10时闭环系统的稳定性。

解系统转折频率为。绘制K=2和K=10时的伯德图如图。系统开环稳定，P=0。

由图可见，K=2时,,在的频段内无穿越，N=0,闭环系统稳定。

K=10时,,在的频段内有一次负穿越，N-=1,N=N+-N-=-1

闭环系统不稳定。152152临界稳定的概念最小相位系统G(jω)过(-1,j0)点时(见图)，闭环系统临界稳定。G(jω)曲线过(-1,j0)点时，G(jω)=1同时成立！特点∠G(jω)=-180o0j1-1G(jω)5.5

控制系统的相对稳定性

1535.5.1相位裕量

幅值穿越频率

——

系统开环幅频特性为1时的角频率，也称为截止频率或剪切频率。即相位裕量——在系统的幅值穿越频率处，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相位（超前或滞后相位）量,称为相位裕量，用表示。有单位圆相位裕量越大，系统的相对稳定性越好，一个良好的控制系统，一般要求。物理意义：闭环稳定系统的开环相频特性再滞后γ度，则系统处于临界稳定状态。1545.5.2幅值裕量相位穿越频率——系统开环相频特性等于-180°时所对应的角频率，称为相位穿越频率。即

幅值裕量——在系统的相位穿越频率处开环幅频特性的倒数，称为幅值裕量，用表示。有在伯德图中，幅值裕量以分贝表示：■物理意义

：对于闭环稳定的系统，系统开环幅频特性增大倍后系统达到临界稳定状态。一个良好的控制系统，一般要求h＝6～10dB。155

对于最小相位系统，相角裕度大于零、幅值裕度大于1(0db)时，系统稳定。

和h越大，系统稳定程度越好；

小于零、h小于1(h的分贝值为负)，系统则不稳定。如果系统的开环幅频特性增大到原来的h

倍，

则系统就处于临界稳定状态。如果系统对频率c信号的相角滞后再增大度，则系统将处于临界稳定状态。156例5-10

单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的相位裕量和幅值裕量。解由开环伯德图计算裕量。转折频率为