时间序列模型

1

前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。

§5.3非平稳时间序列建模

2

然而，对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的某些数字特征是随着时间的变化而变化的。

非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间序列。3图5.9中国1978年～2006年的生产法GDP序列4

1.确定性时间趋势

描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势

(5.3.1)

其中ut是平稳序列；a+t是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(5.3.1)中减去a+t，结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。

§5.3.1非平稳序列和单整5

一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：

(5.3.2)

t=1,2,,T

同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果yt能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。62.差分平稳过程非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式

(5.3.3)

也可写成

(5.3.4)

其中a是常数，ut是平稳序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一个白噪声序列。若令a=0，y0=0，则由式(5.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），显然违背了时间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移a的随机游走，说明yt的差分序列yt是平稳序列。7

实际上，在5.1节中讨论的回归方程的序列自相关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。这是因为，如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未来信息的。8

残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪回归，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，以使残差序列达到平稳。一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列，根据5.2节中的方法建模，并利用变量之间的相关信息，描述经济时间序列的变化规律。9

3.单整

像前述yt这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下：

定义：如果序列yt，通过d次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分d–1次时却不平稳，那么称序列yt为d阶单整序列，记为yt

～I(d)。特别地，如果序列yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为yt

～I(0)。10

单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样，平稳序列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为2阶单整I(2)；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为1阶单整I(1)；而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为0阶单整I(0)。11

§5.3.2

非平稳序列的单位根检验

检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、ADF检验。

ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。

12

其中a是常数，

t是线性趋势函数，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF检验

为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型

13

(1)如果-1<

<1，则yt平稳（或趋势平稳）。

(2)如果=1，yt

序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：显然yt

的差分序列是平稳的。

(3)如果

的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。14

因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验

是否严格小于1来实现。也就是说：

原假设H0：

=1，备选假设H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

从方程两边同时减去yt-1得，其中：

=

-1。15

其中：

=

-1，所以原假设和备选假设可以改写为

可以通过最小二乘法得到的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性的t统计量。但是，Dickey-Fuller研究了这个t统计量在原假设下已经不再服从t分布，它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项)和样本长度T

。16Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过t统计量来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检验(DF检验)。

上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方法（augmentedDickey-Fullertest）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。

17

2.ADF检验

考虑yt存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，在上式两端减去yt-1，通过添项和减项的方法，可得其中

18ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt

的滞后差分项来控制高阶序列相关

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)19

扩展定义将检验

(5.3.14)

原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。序列yt可能还包含常数项和时间趋势项。判断的估计值是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR(p)过程是否存在单位根。类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验不同显著性水平的t统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。20

但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：

（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。

（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。21

①若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离0的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检验时添加常数项。

②若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。22

3.DFGLS检验在经验研究中，尽管DF检验的DF统计量是应用最广泛的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock(1996)基于GLS方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：

23

首先定义序列yt的拟差分序列如下：

t=1,2,,T

并且构造如下回归方程：

t=1,2,,T(5.3.14)其中xt

=(1)表示yt中只含有截距项，或xt

=(1,t)表示yt中含有截距项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计量，在实际计算中通常如下定义参数a：

24

利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列ytd为

t=1,2,,T

然后，对退势后的序列ytd，应用ADF检验，即为DFGLS检验。检验过程如下：

t=1,2,,T

原假设和备选假设同ADF检验一致，为

Elliott，Rothenberg和Stock(1996)给出了不同置信水平下的临界值，DFGLS检验同一般的ADF检验一样是左侧单边检验。25

EViews软件中单位根检验操作说明：

双击序列名，打开序列窗口，选择View/unitRootTest，得到下图：

单位根检验窗口26

进行单位根检验必须定义4项：

1．选择检验类型

在Testtype的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供了6种单位根检验的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test27

2．选择差分形式在Testforunitrootin中确定序列在水平值、一阶差分、二阶差分下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。28

3．定义检验方程中需要包含的选项

在Includeintestequation中定义在检验回归中是否含有常数项、常数和趋势项、或二者都不包含。这一选择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这3种情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了介绍。29

4．定义序列相关阶数

在Laglenth这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的滞后阶数的准则。一般而言，EViews默认SIC准则。定义上述选项后，单击OK进行检验。EViews显示检验统计量和估计检验回归。单位根检验后，应检查EViews显示的估计检验回归，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。30

例5.7

检验居民消费价格指数序列的平稳性

图5.9中国1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列31

例5.7用AR(1)模型模拟1983年1月～2007年8月居民消费价格指数一阶差分CPI的变化规律。在用ADF进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从图5.7的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。CPI序列的ADF检验结果(选择既无常数项也无趋势项)如下：32

1983年1月～2007年8月的CPI序列单位根ADF检验结果。可以看出不能拒绝原假设，存在单位根。33

1983年1月～2007年8月的CPI序列单位根DF-GLS检验结果。采用含有常数和趋势项的形式。不能拒绝原假设，CPI序列存在单位根。34

检验结果显示，CPI序列接受原假设，因此，CPI序列是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分CPI序列进行单位根检验，ADF检验结果如下：

检验结果显示，一阶差分CPI序列拒绝原假设，接受CPI序列是平稳序列的结论。因此，CPI序列是1阶单整序列，即CPI～I(1)。35

例5.9检验中国GDP序列的平稳性

在图5.9中，我们可以观察到1978年～2006年我国GDP（现价，生产法）具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（p=4）。GDP序列的ADF检验如下

：检验结果显示，GDP序列以较大的P值，即100%的概率接受原假设，即存在单位根的结论。36

将GDP序列做1阶差分，然后对ΔGDP进行ADF检验（选择含有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（p=6））如下

：检验结果显示，ΔGDP序列仍接受存在单位根的结论。其他检验方法的结果也接受原假设，ΔGDP序列存在单位根，是非平稳的。

37

再对ΔGDP序列做差分，则Δ2GDP的ADF检验（选择不含常数项和趋势项,由SIC准则确定滞后阶数（p=6））如下：检验结果显示，二阶差分序列Δ2GDP在1%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定GDP序列是2阶单整序列，即GDP～I(2)。

38

5.3.3ARIMA模型

1．ARIMA模型的形式

我们已经介绍了对于单整序列能够通过d次差分将非平稳序列转化为平稳序列。设yt是d阶单整序列，即yt～

I(d)，则(5.3.40)

wt为平稳序列，即wt～

I(0)，于是可以对wt建立ARMA(p,q)模型(5.3.41)39

用滞后算子表示，则其中

(5.3.42)

经过d阶差分变换后的ARMA(p,q)模型称为ARIMA(p,d,q)模型(autoregressiveintegratedmovingaveragemodels)，式（5.3.42）等价于下式(5.3.43)40

估计ARIMA(p,d,q)模型同估计ARMA(p,q)具体的步骤相同，惟一不同的是在估计之前要确定原序列的差分阶数d，对yt进行d阶差分。

因此，ARIMA(p,d,q)模型区别于ARMA(p,q)之处就在于前者的自回归部分的特征多项式含有d个单位根。因此，对一个序列建模之前，我们应当首先确定该序列是否具有非平稳性，这就首先需要对序列的平稳性进行检验，特别是要检验其是否含有单位根及所含有的单位根的个数。41

2.应用ARIMA(p,d,q)模型建模的过程

Box-Jenkins提出了具有广泛影响的建模思想，能够对实际建模起到指导作用。Box-Jenkins的建模思想可分为如下4个步骤：（1）对原序列进行平稳性检验，如果序列不满足平稳性条件，可以通过差分变换（单整阶数为d，则进行d阶差分）或者其他变换，如对数差分变换使序列满足平稳性条件；（2）通过计算能够描述序列特征的一些统计量（如自相关系数和偏自相关系数），来确定ARMA模型的阶数p和q，并在初始估计中选择尽可能少的参数；42

（3）估计模型的未知参数，并检验参数的显著性，以及模型本身的合理性；（4）进行诊断分析，以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符。

对于Box-Jenkins建模思想的第3、4步，需要一些统计量和检验来分析在第2步中的模型形式选择得是否合适，所需要的统计量和检验如下：

（1）检验模型参数显著性水平的

t统计量；

（2）为保证ARIMA(p,d,q)模型的平稳性，模型的特征根的倒数皆小于1；

（3）模型的残差序列应当是一个白噪声序列，可用5.1节中的检验序列相关的方法检验。43

在EViews中估计ARIMA模型

可以直接在估计定义式中包含差分算子D。例如：GDP～I(2)，对GDP估计ARIMA(1,2,1)模型，可以输入列表：

D(GDP,2)car(1)ma(1)

使用因变量差分因子D(GDP)定义模型，EViews将提供水平变量GDP的预测值。44

例5.8用ADF单位根检验得到结论：GDP序列是2阶单整序列，即GDP～I(2)。但是检验得到GDP的对数序列ln(GDP)是1阶单整序列，所以本例建立Δln(GDP)序列的ARIMA模型。首先观察Δln(GDP)序列的相关图（图5.10）。

例5.9建立中国GDP的ARIMA模型

图5.10Δln(GDP)序列的相关图45

Δln(GDP)序列的自相关系数和偏自相关系数都在1阶截尾，则取模型的阶数p=1和q=1，建立ARIMA(1,1,1)模型(时间期间：1978～2004年，2005和2006年实际数据不参加建模，留作检验）：

46Δln(GDPt)

=0.9Δln(GDPt-1)++0.76

t=(8.98)(5.49)

R2=0.54D.W=2.2

图5.11Δln(GDP)序列的ARIMA(1,1,1)模型残差的相关图

从图5.11的相关图中可以看出模型的残差不存在序列相关，并且模型的各项统计量也很好。47

图5.12是这个模型的拟合和预测（静态）的结果，其中2005年和2006年为预测结果。

图5.12蓝线是GDP序列的原数据，红线是模型拟合和预测结果48§5.4协整和误差修正模型

在前面介绍的ARMA模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍的ARIMA模型。但是变换后的序列限制了所讨论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。49

1987年Engle和Granger提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。

例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。50

5.4.1协整关系

假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均值、方差或协方差随时间而变化，而这些时间序列的线性组合序列却可能有不随时间变化的性质。51

下面给出协整的定义：

k维向量Y

=(y1，y2，…，yk)的分量间被称为d,b阶协整，记为Y

～CI(d，b)，如果满足：

(1)y1，y2，…，yk都是d阶单整的，即yi～I(d)，i=1,2,…,k，要求Y

的每个分量yi

～I(d)；

(2)存在非零向量=(1,2,

…,

k

)，使得Y～I(d-b)，0<b≤d。简称Y

是协整的，向量

又称为协整向量。

52

需要注意的是：

(1)作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不惟一的；

(2)协整变量必须具有相同的单整阶数；

(3)最多可能存在k-1个线性无关的协整向量(Y的维数是k)；

(4)协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成比例。53

5.4.2

协整检验

协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、DF检验和ADF检验。

本节将主要介绍Engle和Granger（1987）提出的协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。从协整理论的思想来看，自变量和因变量之间存在协整关系。54

也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的。

因此，检验一组变量（因变量和解释变量）之间是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是否是一个平稳序列。通常地，可以应用上节中的ADF检验来判断残差序列的平稳性，进而判断因变量和解释变量之间的协整关系是否存在。55

检验的主要步骤如下：（1）若k个序列y1t

和y2t，y3t，…，ykt都是1阶单整序列，建立回归方程模型估计的残差为

56

（2）检验残差序列ût是否平稳，也就是判断序列ût是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列ût是否是平稳的。

（3）如果残差序列ût是平稳的，则可以确定回归方程中的k个变量（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间存在协整关系，并且协整向量为；否则（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之间不存在协整关系。57

协整检验的目的是决定一组非平稳序列的线性组合是否具有协整关系，也可以通过协整检验来判断线性回归方程设定是否合理、稳定，这两者的检验思想和过程是完全相同的。利用ADF的协整检验方法来判断残差序列是否平稳，如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的，说明回归方程的因变量和解释变量之间存在稳定的均衡关系。反之，说明回归方程的因变量和解释变量之间不存在稳定均衡的关系，即便参数估计的结果很理想，这样的一个回归也是没有意义的，模型本身的设定出现了问题，这样的回归是一个伪回归。58为了描述财政支出和财政收入之间是否存在协整关系，本例选择1990年1月～2007年12月的月度数据进行实证分析，其中用f_ext表示财政支出，f_int表示财政收入。首先利用X-12季节调整方法对这2个指标进行季节调整，去掉季节因素，然后取对数，发现取对数后呈线性变化。单位根检验发现序列ln(f_ext)和ln(f_int)是非平稳的，一阶差分以后是平稳，即ln(f_ext)和ln(f_int)均是I(1)序列。

例5.10财政支出和财政收入的协整关系检验59

左图是去掉季节因素的财政收入和财政支出的对数图形右图是去掉季节因素和不规则因素的财政收入和财政支出的对数图形60

第一步，建立如下回归方程：

估计后得到

t=(760.92)R2

=0.976

D.W.=1.37

61第二步，对上式的残差进行单位根检验，由回归方程估计结果可得

对ût进行单位根检验，选择无截距项、也无趋势项的检验模型，由SIC信息准则确定滞后阶数为2，其结果如下：62

检验结果显示，残差序列ût

在1%的显著性水平下拒绝原假设，因此可以确定ût为平稳序列，即ût～I(0)。上述结果表明：1990年1月～2007年12月期间ln(f_ext)和ln(f_int)之间存在协整关系，即是CI(1,1)的，协整向量为(1，1.01)。

63

5.4.3误差修正模型

误差修正这个术语最早是由Sargen(1964)提出的，但是误差修正模型基本形式的形成是在1978年由Davidson、Hendry等提出的。传统的经济模型通常表述的是变量之间的一种“长期均衡”关系，而实际经济数据却是由“非均衡过程”生成的。因此，建模时需要用数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程。最一般的模型是自回归分布滞后模型(autoregressivedistributedlag，ADL)。64

如果一个内生变量yt

只被表示成同一时点的外生变量

xt的函数，xt对yt

的长期影响很容易求出。然而如果每个变量的滞后也出现在模型之中，其长期影响将通过分布滞后的函数反映，这就是ADL模型。先考虑一阶自回归分布滞后模型，记为ADL(1,1)

(5.4.3)65

其中：ut

～i.i.d.(0,

2)，记y*=E(yt)，x*=E(xt)

，由于E(ut)

=0，在式(5.4.3)两边取期望得进而有

(5.4.4)(5.4.5)66

记k0=

0/(1-1)，k1=(

2+3)

/(1-1)

，则式(5.4.5)可写为(5.4.6)

其中：k1

度量了yt与xt

的长期均衡关系，也是yt

关于xt的长期乘数。67

在式(5.4.3)两端减去yt-1，在右边加减2xt-1

得到：

(5.4.7)

利用2+3=k1(1-1)，

0=k0(1-1)，式(5.4.7)又可改写成

(5.4.8)

令

=1-1，则式(5.4.8)可写成68

上式称为误差修正模型(errorcorrectionmodel，简记ECM)。当长期平衡关系是y*=k0+k1x*时，误差修正项是如(yt-k0-k1xt)

的形式，它反映了yt关于xt

在第

t时点的短期偏离。一般地，由于式(5.4.3)中|1|<1

，所以误差项的系数

=(1-1)<0，通常称为调整系数，表示在t-1