量子力学：23-全同粒子

量子力学薛定谔图像与海森堡图像全同粒子波函数的交换对称性

第11讲目录一、薛定谔图像与海森堡图像二、全同粒子三、波函数的交换对称性

四、例题一、薛定谔图像与海森堡图像（1）1、经典力学和量子力学中的力学量

经典力学中，处于一定状态下的每一个力学量，若，在每一时刻都有确定值。

量子力学中，处于某一状态下的某个力学量，在每一时刻，不一定有确定值，除非在该时刻量子态是该力学量的本征态。一、薛定谔图像与海森堡图像（2）2、力学量的平均值随时间演化

当体系每个时刻波函数给定后，对于力学量可以确定的只有测值概率分布和平均值。平均值随时间演化：平均值：结论：1、若则：

2、若则：（任意状态下）

一、薛定谔图像与海森堡图像（3）3、薛定谔图像

注意：若，但是其平均值以及测值概率分布是时间的函数，根源在于，波函数是随时间演化的。算符本身不随时间演化波函数随时间演化

力学量平均值以及测值概率分布随时间演化完全归因于波函数随时间演化。薛定谔图像（picture，绘景）一、薛定谔图像与海森堡图像（4）4、时间演化算符

定义一个时间演化算符，形式上表示的解：

给出了和初态联系起来的一个变换。幺正性概率守恒一、薛定谔图像与海森堡图像（5）5、海森堡图像

随时间的变化，可以完全由算符来承担，而态矢量保持为，不随时间变化。海森堡图像（绘景）时间演化方程：一、薛定谔图像与海森堡图像（6）6、总结

薛定谔图像（绘景）：态矢量随时间演化，力学量算符不随时间变化。

海森堡图像（绘景）

：态矢量不随时间演化，力学量算符随时间演化。

相互作用图像（绘景）

：态矢量和力学量算符均随时间演化。（处理存在相互作用情况）二、全同粒子（1）1、定义

具有完全相同的内禀属性（静质量，电荷，自旋，磁矩，寿命等）的粒子称为全同粒子。全同性与量子性是紧密相联的！

经典力学：粒子的性质和状态可连续变化，因此很难找到两个粒子是全同的。

量子力学：粒子状态是量子化的，两个量子态要么完全相同，要么完全不同。没有中间状态过渡。三、波函数的交换对称性（1）1、交换对称性

考虑氦原子中两个电子所组成的体系，哈密顿量：

两个电子交换，不变。

交换对称性：在由全同粒子组成的多粒子体系中，任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两个粒子交换是不变的。换句话说，对于全同粒子多体系，任何两个粒子交换不改变其体系的量子态。交换算符是守恒量

交换不变性由于体系具有交换不变性，时经交换后演化到，应等于演化到再进行交换，即

由于的任意性，所以

由于任意

即

是运动常数。

A.

由于是一运动常数，因此一开始体系处于某种交换对称态下，则以后任何时刻都处于这态下；

B.与其他运动常数根本不同之处在于，体系要么处对称态，要么处于反对称态.C.实验表明：具有自旋为半整数的粒子体系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函数不变，即处于对称态。

三、波函数的交换对称性（2）2、交换算符（1）

考虑N个全同粒子组成体系，波函数：

定义交换算符，表示i

粒子坐标和j粒子坐标交换。

事实上，和描述的是同一量子态，因为组成体系的N个粒子是全同粒子，所有粒子的内禀属性完全相同。为常数因子

表示第i个粒子的全部坐标三、波函数的交换对称性（3）2、交换算符（2）

有且只有两个本征值：对称波函数反对称波函数

根据交换算符的本征方程，由全同粒子所组成的多粒子体系，其交换对称性要求任意两个粒子交换后，要么对称，要么反对称。三、波函数的交换对称性（4）3、两个全同粒子组成的体系（1）

考虑两个全同粒子（无相互作用），哈密顿量：交换简并；和形式上完全相同。的本征值方程:设两个粒子中有一个处于态，另一个处于态上述两个波函数还不一定具有交换对称性。三、波函数的交换对称性（5）3、两个全同粒子组成的体系（2）

对于波色子（自旋为整数倍的粒子，遵守波色统计），波函数对于粒子交换总是对称的：（a）：归一化对称波函数为：（b）：归一化对称波函数为：两（多）个全同的波色子可以处于一个单粒子态。（激光原理：光子的简并。）三、波函数的交换对称性（6）3、两个全同粒子组成的体系（3）

对于费米子（自旋为半奇数倍的粒子，遵守费米统计），波函数对于粒子交换总是反对称的：（a）：归一化反对称波函数为：（b）：归一化对称波函数为：

泡利不相容原理：不允许有两个全同的费米子处于同一个粒子态。三、波函数的交换对称性（7）4、N个全同费米子组成的体系（1）

首先考虑3个全同费米子（无相互作用），处于三个不同的单粒子态：，和。反对称波函数写为：反对称化算符三、波函数的交换对称性（8）4、N个全同费米子组成的体系（2）N个全同费米子组成的体系，分别处于态下，反对称波函数为：

表示N个粒子的一个置换。N个粒子分别排列在N个单粒子态，共有N！个排列，所以有N！个置换。奇置换：，偶置换三、波函数的交换对称性（9）4、N个全同波色子组成的体系（1）

由于波色子不受泡利不相容原理的限制，即多个波色子可处于相同的单粒子态，设个波色子处在态上，

对称的多粒子波函数表示为:

只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换，这种置换共有

归一化的对称波函数写为：四、例题（1）（a）：没有交换对称性，两个粒子波函数为：

设有两个全同的自由粒子，都处于动量本征态。分三种情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布。

令：相对坐标，质心坐标

相对动量，总动量

逆变换：四、例题（2）

由于只讨论相对运动，所以只保留相对运动波函数：

在距离一个粒子在的球壳内找到另一个粒子的概率：

为概率密度。四、例题（3）（b）：交换反对称性波函数为，当粒子1和2交换时，不变，，反对称相对运动波函数为

在距离一个粒子在的球壳内找到另一个粒子的概率：四、例题（4）（c）：交换对称性波函数为，当粒子1和2交换时，不变，，对称相对运动波函数为

在距离一个粒子在的球壳内找到另一个粒子的概率：四、例题（5）

全同粒子相对距离的概率分布与其波函数的交换对称性有关，为可观测效应！四、量子力学的五个基本假定基本假定Ⅰ：波函数假定微观粒子的状态可以被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般满足连续性、有限性和单值性三个条件。说明：波函数一般是粒子坐标和时间的复函数，波函数的模方代表粒子空间分布的概率密度。

量子力学的五个基本假定基本假定Ⅱ：力学量算符假定力学量用线性Hermite算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为动量算符得出。表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。量子力学的五个基本假定基本假定Ⅲ：本征值概率及平均值假定将体系的状态波函数用算符的本征函数展开

则在态中测量力学量F得到结果为的几率是，测量结果在范围内的几率是。

在任意状态上，力学量的平均值