信号与系统 第八章 滤波器和均衡器中的应用

第八章滤波器和均衡器中的应用滤波器是对信号的频率成分进行选择和调整的工具。使用滤波器对信号进行选择的前提，是所需要信号的频率成分与寄生（无用）信号的频率成分之间是分离的。均衡器是从输出信号中恢复输入信号的工具。利用拉普拉斯变换和z变换，可以实现滤波器和均衡器的设计。理想滤波器概念是滤波器设计的基础，从理想滤波器概念出发，可以实现实际滤波器的设计。低通滤波器设计是高通滤波器和带通滤波器等滤波器设计的基础方法以连续时间系统的角度设计的滤波器是模拟滤波器，以离散时间系统角度设计的滤波器是数字滤波器。§8.1引言§8.2无失真传输条件如果输出信号y(t)只是输入信号x(t)幅度的尺度变换和恒定的时间延迟，则称系统对输入信号进行了无失真的传输。系统无失真传输的条件可以表示为其中

C和

t0均是常数，分别代表幅度变换程度和传输过程中的时间延迟。LTI系统输入信号x(t)输出信号y(t)=C

x(t-t0)无失真传输系统的傅里叶变换为线性非时变无失真传输系统的频率响应和冲激响应分别为§8.2无失真传输条件无失真传输系统的幅度响应为常数：无失真传输系统的相位响应，是以系统延迟时间的负值为斜率、随频率变化的直线。无时移系统的相位响应为常数。0ω|H(jω)|C0ωarg{H(jω)}斜率=-t0离散信号无失真传输系统的频率响应ωΔt

对所有频率§8.3理想低通滤波器实际信号随时间的变化率一般都有一定的上下限，即信号的频谱只占有有限的频率范围。我们可以通过对系统进行设计，使其具有选择让某些频率范围的信号通过，并阻断某些频率范围信号的功能，实现这种功能的方法或工具称为滤波器。实际系统都只能对一定频率范围的信号做出响应，因此从广义上说，实际系统本身就具有滤波器的功能。滤波器的频率响应通过通带和阻带体现其特性，通带与阻带之间由过渡带（保护带）隔离开，过渡带往往是系统为保证完整而无失真地取得有用信号的冗余保障。滤波器有低通、高通、带通和带阻等类型，分别对应系统需要传输低频、高频、中频及除中频外频段信号的特性。低通滤波器是具有让频率从零至某一最大频率范围信号通过，而阻断其他高频信号通过的系统。允许所有通带内的低频信号无失真通过，通带外的高频信号完全不能通过的滤波器是为理想低通滤波器。低通滤波器设计方法是其他滤波器设计的基础。§8.3理想低通滤波器理想低通滤波器的频率响应：0ω|H(jω)|1ωc-ωc0ωarg{H(jω)}1ωc-ωc斜率=-t0理想低通滤波器通带内幅度响应为1，相位响应为直线，即：§8.3理想低通滤波器理想低通滤波器的冲激响应：主瓣宽度：2π/ωc上升时间：π/ωct

<0时，h(t)≠0由于t

<0时，h(t)≠0，理想低通滤波器不具有因果性。

8.3.1时域矩形脉冲信号通过理想低通滤波器后的特性输入为矩形脉冲信号通过理想低通滤波器后的输出信号为其中：

8.3.1矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特性而称为正弦积分正弦积分的基本特点:正弦积分是奇函数；正弦积分在π的整数倍位置上有极大值或极小值；随着|u|的增加，正弦积分趋向于极限值±π/2。

8.3.1矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特性矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点1、ωc＞4π/T0时，输出信号y(t)与输入矩形脉冲x(t)的持续时间大致相同，但是：a）与输入信号的陡峭上升和下降不同，输出信号具有一定的上上升和下降时间，上升和下降时间的长短与截止频率ωc成反比，截止频率越大，上升和下降时间越短；b）输出信号y(t)在上升和下降沿的前后存在过冲和振荡（吉布斯现象），最大顶部上冲量约为正弦积分极限值的9%。

2、ωc=2π/T0时，输出响应y(t)可以看成一个脉冲信号。脉冲的上升时间和下降时间之和与输入矩形脉冲的持续时间几乎是相同的，可以近似反映输入信号的有无和持续时间过程。3、当ωc＜2π/T0时，响应y(t)可以粗略地看作输入脉冲的失真模式。ωc>4π/T0ωc=2π/T0ωc＜2π/T0x(t)y(t)

8.3.1矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特性（第7节课，2014年12月15日，金工实习停课6周后第六次课讲到此。）

矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点ωcT0

=10π时，矩形脉冲通过理想低通滤波器后的输出：1）上升和下降时间较ωcT0

=4π时明显减小；2）平均振荡幅度较ωcT0

=4π时明显减小；3）其过冲（最大振荡幅度）基本保持不变，约为平均极限响应的9%。ωcT0

=20π时，矩形脉冲通过理想低通滤波器后的输出：1）上升和下降时间较ωcT0

=10π时进一步减小；2）平均振荡幅度进一步减小；3）其过冲（最大振荡幅度）基本保持不变，约为平均极限响应的9%。§8.4滤波器设计理想低通滤波器具有的三项功能：让位于通带内的所有频率成分无失真通过；滤除所有位于阻带内的频率成分；从通带到阻带的过渡是陡峭的。但是这三项功能实际上是难以实现的。实际滤波器是在允许存在一定误差的条件下来实现的。

实际低通滤波器的设计原则:1）滤波器的幅度响应的平方控制在1与1-ε之间，即1-ε≤|H(jω)|2≤1对于0≤ω≤ωp

其中ωp是通带的截止频率，

ε是容限参数；2）阻带内滤波器的幅度的平方小于δ，即

|H(jω)|2≤δ对于|ω|≥ωs

其中ωs是阻带的截止频率，

δ是容限参数；3）过渡带的带宽是有限值，为：ωs-ωp，即阻带最小频率与通带最大频率之差。11-εδ|H(jω)|2ωsωp0通带阻带过渡带§8.4滤波器设计实际低通滤波器的设计步骤:1）通过表示稳定因果系统的有理传递函数，将预定的频率响应（包括幅度及相位响应）作近似表示；2）通过实际的物理系统实现以上近似表示的传递函数。

实际低通滤波器的设计方法:1）对模拟系统采用模拟方法实现滤波器设计；2）在已经知道的模拟滤波器基础上设计数字滤波器，称为模拟—数字方法；3）直接进行数字滤波器的设计方法。§8.5实现实际滤波器设计的近似函数

实际滤波器的设计没有固定和唯一的方法，只能根据需要问题的要求，从一个优化的原则和技术出发，得到符合一定规范条件下的解决方案。滤波器设计中常用的两种优化方案是最大平坦幅度响应和等纹波幅度响应。a）最大平坦幅度响应

如果幅度响应|H(jω)|对ω的各阶偏导数在ω=0时均为零，称该滤波器|H(jω)|是关于ω=0点最大平坦的。即最大平坦幅度响应满足：§8.5实现实际滤波器设计的近似函数b）等纹波幅度响应

令幅度响应|H(jω)|的模平方具有如下形式：

如果函数F

2(ω)在整个通带内只在最大值与最小值之间振荡，那么就可以通过选择适当的γ值，使得|H(jω)|在通带内只在1与1-ε之间变化，称这种情况下的幅度响应为等纹波幅度响应。等纹波幅度响应举例1：函数F

(ω)关于ω的K=3阶导数存在，且ωc=1（i）F

2(ω)=0，当ω

=0，±ωa

（ii）F

2(ω)=1，当ω

=±ωb，

±1（iii）

，当ω

=±ωb，±ωa

其中：0＜ωb＜ωa＜1ωbωa011ωF

2(ω)§8.5实现实际滤波器设计的近似函数等纹波幅度响应举例2：函数F

(ω)关于ω的K=4阶导数存在，且ωc=1（i）F2

(ω)=0，当ω

=0，±ωa1

，±ωa2

（ii）F

2(ω)=1，当ω

=0，±ωb，

±1（iii）

，当ω

=0，±ωa1

，±ωb，±ωa2

其中：0＜ωa1

＜ωb＜ωa2

＜1ωa1ωa2011ωF

2(ω)ωb等纹波幅度响应举例2：函数F

(ω)关于ω的K=4阶导数存在，且ωc=18.5.1Butterworth低通滤波器K阶

Butterworth低通滤波器的定义为Butterworth低通滤波器是关于ω的偶函数。

ωc是滤波器的截止频率。ω/ωc|H(jω)|28.5.1Butterworth低通滤波器Butterworth低通滤波器的特点：1、ω=0时，|H(jω)|的2K-1阶导数均为零，即Butterworth低通滤波器对于ω=0是最大平坦的；2、无论K为多少阶，滤波器在ω=0

处无衰减；3、Butterworth低通滤波器是单调的，且无论K为多少阶，滤波器在ω=±ωc

处的输出为最大值的1/2，即以半功率输出对应的频率为截止频率；截止频率越大，通带宽度越宽，截止频率越小，则通带宽度越窄；4、Butterworth低通滤波器的阶数越大，通带内不同频率信号的增益越平坦；

Butterworth低通滤波器的阶数越小，通带内不同频率信号的增益越不平坦；5、Butterworth低通滤波器的阶数越大，通带边缘的上升和下降率就越大，

Butterworth低通滤波器的阶数越小，通带边缘的上升和下降率就越小。ε=0.02ε=0.01ε=0.05ε=0.1Kωp/ωc8.5.1Butterworth低通滤波器由ω=ωp

时，

|H(jω)|2=1-ε

得到通带特性：8.5.1Butterworth低通滤波器由ω=ωs

时，

|H(jω)|2=δ

得到阻带特性：δ=0.01δ=0.02δ=0.05δ=0.1ωs/ωcK8.5.1Butterworth低通滤波器由s=jω替换

|H(jω)|2

中的ω，则Butterworth低通滤波器的传递函数：H(s)H(-s)的极点满足：即：H(s)的极点位于半径为ωc的圆周上(P603图8.11)，且与虚轴没有交点（这是傅里叶变换即频率响应存在的必然结果），特别是如果系统是稳定的因果系统，

Butterworth低通滤波器传递函数H(s)的极点将只位于s平面的左半平面内。∵h(t)为实函数时，H*(jω)=H(-jω)8.5.1Butterworth低通滤波器例题与习题：例8.3（P603）作业：习题8.2（P604），习题8.3（P604），8.5.1Butterworth低通滤波器例题与习题：

例8.3（P603）三阶Butterworth滤波器的极点分布k=1k=2k=3k=4k=5k=68.5.1Butterworth低通滤波器例题与习题：例8.3（P603）四阶Butterworth滤波器的极点分布k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=88.5.2Chebyshev（切比雪夫，椭圆）滤波器Chebyshev（切比雪夫）低通滤波器是一种等纹波滤波器，它的定义式比Butterworth滤波器复杂，分为Chebyshev-I型和Chebyshev-II型。Chebyshev-I型滤波器的定义：Chebyshev-II型滤波器的定义：

可见，Chebyshev-II型（反Chebyshev

）滤波器是Chebyshev-I型滤波器的反滤波器。式中：

ε＜1，是通带纹波参数；δ＜1，是阻带纹波参数；而双曲余弦函数：cosh(x)=(ex+e-x)/2|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωcK=2K=4K=6K=88.5.2Chebyshev（切比雪夫）滤波器Chebyshev-I型滤波器的功率谱Chebyshev-II型（反Chebyshev）滤波器的功率谱8.5.2Chebyshev（切比雪夫）滤波器|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωcK=1K=3K=5K=7Chebyshev-I型滤波器在通带内是等纹波的，纹波的极大和极小值的总数与滤波器阶数K相同，阻带内Chebyshev-I型滤波器是单调下降的。Chebyshev-II型滤波器在阻带内是等纹波的，在通带内Chebyshev-II型滤波器是单调下降的。Chebyshev-I型通带内的等纹波性与Chebyshev-II型滤波器阻带内的等纹波性结合可以减小过渡带的带宽。这时两个Chebyshev滤波器的极点均位于椭圆上，称这样的滤波器为椭圆滤波器。

椭圆滤波器是最优化滤波器，因为根据这样的规范所设计滤波器的过渡带宽最小，其传递函数在s平面上的零点是有限的，零点的数目由滤波器的阶数K惟一确定。另外，Butterworth

和Chebyshev滤波器传递函数的所有零点都位于

s=∞处。8.5.2Chebyshev（切比雪夫）滤波器§8.6频率变换—滤波器通带之间的关系

截止ωc=1的低通滤波器称为“原型”滤波器：通过改变截止频率的值，可以得到具有任意截止频率的低通滤波器；通过一定独立变量代换，可以在不改变容差的情况下，由原型滤波器得到高通、带通和带阻滤波器。8.6.1低通滤波器到高通滤波器的转换

低通滤波器的传递函数中，s平面内的s=0和s=∞分别代表通带的频率中点（零频率）及阻带中的渐近过程。高通滤波器的作用与低通滤波器的作用恰好相反，因此可以在低通滤波器中将sLP用ωc/sHP替代而得到高通滤波器的传递函数，其中ωc是高通滤波器的低频截止频率。即：sLP

ωc/sHP8.6.1低通滤波器到高通滤波器的转换

进一步当已经得到了原型低通滤波器传递函数的部分分式，则原型低通滤波器传递函数到高通滤波器的转换关系为：ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2从原型低通滤波器传递函数与高通滤波器的关系直接得到：8.6.2低通滤波器到带通和带阻滤波器的转换

带通滤波器抑制了信号的低频和高频成分，而只允许其中某一带宽范围内的频率成分通过。带通滤波器的频率响应H(jω)具有如下特点：1、在以为ω0中心频率、截止频率为±ωc的通带内，1/2≤|H(jω)|2≤1；2、在ω

远离±ωc的地方，|H(jω)|2≈0。从原型低通滤波器传递函数得到带通滤波器的功率谱传递函数：

相应地，可以建立零点位于s=0和s=∞处，极点位于s=±jω0处，通带宽度为B的传递函数。sLP

（s2BP+ω20）/

BsBP

进一步当已经得到了原型低通滤波器传递函数的部分分式，则原型低通滤波器传递函数到带通滤波器的转换关系为：其中极点8.6.2低通滤波器到带通和带阻滤波器的转换

带阻滤波器抑制了信号的某一带宽范围内的频率成分，而允许低频和高频成分通过。带阻滤波器的频率响应HBR(jω)具有如下特点：1、在以为ω0中心频率、截止频率为±ωc的阻带内，0≤|H(jω)|2≤1/2；2、在ω

远离±ωc的地方，|H(jω)|2≈1。从原型低通滤波器传递函数得到带通和带阻滤波器的功率谱传递函数：ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2BB§8.6频率变换例题与习题：作业：习题8.4（P607），习题8.5（P607），习题8.6（P608），习题8.7（P608）§8.7无源滤波器（P608）

（第8节课，2014年12月22日，金工实习停课6周后第七次课讲到此。）

完全由无源电路元件（电阻、电容、电感等）组成的的滤波器称为无源滤波器。无源滤波器的设计完全取决于电容和电感两种电抗元件，电阻元件只作为输入阻抗和输出负载引入到设计中。滤波器的阶数K往往由组成滤波器的电抗元件个数决定。滤波器的设计经常是根据信号的频率分布特性来进行，即预先知道了系统的传递函数，然后根据传递函数来确定构成滤波电路的元件，这个过程称为网络综合。§8.8数字滤波器

无源滤波器在电子系统和通信系统中发挥了重要的作用，但是随着技术的进步、数字技术和计算机技术的发展，无源滤波器的主导地位逐渐被有源滤波器和数字滤波器所取代。数字滤波器通过计算实现对连续信号或离散信号的滤波处理。模数转换器数字滤波器数模转换器重构滤波器输入信号x(t)输出信号y(t)x[n]y[n]y’(t)含数字滤波器单元的连续时间滤波系统§8.8数字滤波器

数字滤波器设计和实现中需要注意的问题1、数字滤波器设计的理论基础是离散信号处理理论。在那里，连续信号在时间上是经过离散抽样的，但抽样点对应信号值的精度是无限精确的。这样设计的滤波器可以在数学处理和分析上带来很大的方便。2、对于实际的数字信号，不仅在抽样过程中产生了时间的离散，同时还在量化过程中产生了信号值的数字化，使数字信号与原信号值之间产生了误差。因此在数字滤波器的实际应用中，由于计算或处理中舍入的门误差，往往会导致滤波器的实际效果与理论设计结果之间存在一定的偏差。3、注意：第一种情况的准确描述应为离散时间滤波器，第二种情况才是真正的数字滤波器。§8.8数字滤波器

数字滤波器的分类1、有限持续时间冲击响应（FIR：finite-durationimpulseresponse）数字滤波器：由一个非递归线性常系数差分方程描述，其传递函数是z-1的多项式。FIR滤波器具有以下特性：

●有限的记忆，因此，任何瞬时启动的持续时间都是有限的；

●总是有界输入有界输出（BIBO）稳定的；●能在满足线性相位响应的无相位失真条件下，实现特定的幅度响应。

模拟滤波器的特性是通过时域的无限持续时间冲击响应来体现，而数字滤波器对应的冲击响应持续时间既有有限的，也有无限的。§8.8数字滤波器2、无限持续时间冲击响应（IIR：infinite-durationimpulseresponse）数字滤波器：其输入—输出特性由一个递归线性常系数差分方程描述，其传递函数是z-1的有理多项式。对于给定频率响应，使用IIR数字滤波器会比使用相应的FIR数字滤波器得到更短的滤波器长度，但这是以相位失真和瞬时启动不一定是有限为代价的§8.9FIR数字滤波器

对于一个冲激响应为h[n]的离散时间非周期系统，其频率响应为H(ejΩ)，二者之间的关系为

FIR数字滤波器的特性是其相位响应是线性的。相位线性响应对应着冲激响应的固定时延，可以简化FIR数字滤波器设计中的对幅度响应的近似处理。8.9.1离散时间非周期系统频率响应与冲激响应的关系§8.9FIR数字滤波器

如果一系统理想频率响应为Hd(ejΩ)，其对应的冲激响应为hd

[n]，hd

[n]一般是无限离散时间非周期函数。为了便于时域处理，需要通过一个窗口函数w[n]使实际冲激响应为h

[n]变为有限时间函数，实际上，由于信号采集的时间不可能无限长，实际冲激响应为h[n]总是有限的，这时其中窗口函数其傅里叶变换表示分别为H(ejΩ)和W(ejΩ)。8.9.2FIR数字滤波器的基本概念§8.9FIR数字滤波器

根据乘积的傅里叶变换性质，有限时间函数冲激响应h

[n]的频率响应为：8.9.3FIR数字滤波器产生的误差使用FIR数字滤波器前后，频率响应误差可以用均方误差衡量:§8.9FIR数字滤波器

根据帕斯瓦尔定理，误差可以在时域表示为：将窗口函数带入，得到对矩形窗口，误差为可见为了减少误差，窗口函数的选择应使残留的冲激响应尽可能小。8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应矩形窗口函数汉明（Hamming）窗口函数汉宁（Hanning）窗口函数8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应矩形窗口函数矩形窗口函数的频率响应8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应汉宁（Hanning）窗口函数汉宁（Hanning）窗口函数的频率响应8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应汉明（Hamming）窗口函数汉明（Hamming）窗口函数的频率响应8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应nwRect[n]nwHamming[n]nwHanning[n]窗口函数图形8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应ΩW

(ejΩ)rectHammingHanning窗口函数的幅度谱（线性坐标）8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应ΩW

(ejΩ)rectHammingHanning窗口函数的幅度谱（线性坐标）8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应Ω20Log10|W

(ejΩ)|rectHammingHanning窗口函数的幅度谱（分贝）8.9.4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应Ω20Log10|W

(ejΩ)|rectHammingHanning窗口函数的幅度谱（分贝）8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用FIR数字滤波器的设计步骤：1、了解系统或信号的频率响应或频率成分Hd(ejΩ)；2、求Hd(ejΩ)的逆傅里叶变换得到对应的冲激响应hd

[n]，即3、选择适当的窗口函数w[n]，使理想冲激响应被调制为可实际应用的有限时间冲激响应为h

[n]，即4、求输入信号x

[n]与有限时间冲激响应为h

[n]

的卷积和得到输出信号y

[n]

，即8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5P613）0Ω|Hd(ejΩ)|10Arg[Hd(ejΩ)]Ωc-ΩcΩc-ΩcΩ频谱成分及对应的冲激响应8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被窗口函数调制后的冲激响应8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被窗口函数调制后冲激响应的频谱被窗口函数调制后冲激响应对应的输出信号n冲激响应hrect[n]hd[n]8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被矩形窗口函数（M=12）调制后冲激响应的图形表示8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被矩形窗口函数（M=12）调制后冲激响应的图形表示8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hamming窗口函数（M=12）调制后冲激响应的图形表示n冲激响应hHam[n]hd[n]8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hamming窗口函数（M=12）调制后冲激响应的图形表示（红线是矩形窗口调制的结果）8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hanning窗口函数（M=12）调制后冲激响应的图形表示n冲激响应hHan[n]hd[n]8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hanning窗口函数（M=12）调制后冲激响应的图形表示（红线是矩形窗口调制的结果）8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被矩形窗口函数（M=12）调制后冲激响应的频谱Ω频率响应Wrect(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*Wrect8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hamming窗口函数（M=12）调制后冲激响应的频谱Ω频率响应WHam(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHam8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hanning窗口函数（M=12）调制后冲激响应的频谱Ω频率响应WHan(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHan8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被矩形窗口函数（M=50）调制后冲激响应的频谱Ω频率响应Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WrectWrect(ejΩ)WHam(ejΩ)Ω频率响应Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHam8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hamming窗口函数（M=50）调制后冲激响应的频谱8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hanning窗口函数（M=50）调制后冲激响应的频谱WHan(ejΩ)Ω频率响应Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHan8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被矩形窗口函数（M=50）调制后的冲激响应8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hamming窗口函数（M=50）调制后的冲激响应8.9.5FIR数字滤波器的设计与应用—例8.5（P613）被Hanning窗口函数（M=50）调制后的冲激响应8.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）频谱成分及对应的冲激响应0Ω|Hd(ejΩ)|π0Arg[Hd(ejΩ)]πΩ-π-π-πππM/2-πM/28.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）经过M=12的矩形窗口调制后的冲激响应8.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）经过M=12的Hanming窗口调制后的冲激响应8.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）经过M=12的Hanming窗口调制后的冲激响应8.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）经过宽度为M=12矩形窗口的幅度响应8.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）经过宽度为M=12汉明窗口的幅度响应8.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）经过宽度为M=50矩形窗口的幅度响应8.9.6FIR数字滤波器的设计与应用—例8.6（P615）经过宽度为M=50汉明窗口的幅度响应习题讲解：习题8.7（P608）§8.10IIR数字滤波器设计方法举例连续信号的传递函数通过拉普拉斯变换得到，而离散信号的传递函数则由

z变换得到。当连续信号离散后，需要寻找拉普拉斯变换与z变换之间的对应关系，即模拟滤波器与IIR数字滤波器之间的转换关系。由模拟滤波器到IIR数字滤波器之间的转换方法有许多种，双线性z变换是其中比较基础的一种，它能够让s平面上的点与z平面上的点具有惟一的对应关系。双线性z变换的基本思路是：首先将整个s平面压缩到s平面内一条虚轴宽度（有限带宽）为2π/Ts（-π/Ts＜ω＜π/Ts）的范围内，之后再用关系

z=rest将此横带转换到z平面上（如下页图所示）。≥2ωmax§8.10IIR数字滤波器设计方法举例保证s平面与z平面具有一一对应的映射关系的条件为：1、

s平面上的整个虚轴

jω映射为z平面的单位圆上的一周；2、H(s)稳定时，

H(z)也是稳定的，因此s左半平面内收敛的H(s)必须映射到

z平面的收敛圆内，

s右半平面内收敛的H(s)必须映射到

z平面的某一圆外；3、这种映射应是可逆的，即：既可以由H(s)转换为H(z)，也可以从H(z)

恢复H(s)；4、如果H(j0)=1，那么对应的H(ej0)=1。s平面σ

jω0z平面Im{z}Ωrz平面jω0-π/Tsπ/TsRe{z}§8.10IIR数字滤波器设计方法举例双线性变换是满足上述4个条件的变换，其定义之一为：其中Ts是从

s域到

z域转换的抽样间隔，即由连续信号转换为离散信号时的时间抽样间隔。因此由拉氏变换传递函数H(s)到

z变换传递函数H(z)之间的变换关系为：因此:§8.10IIR数字滤波器设计方法举例利用关系

s=σ+jω及

z=rejΩ

得到：而复角:§8.10IIR数字滤波器设计方法举例从

s域到

z域传递函数转换的对应关系为：1、当σ＜0时，r＜1，即：H(s)稳定时，H(z)也是稳定的；2、当σ＞0时，r＞1，即：

H(s)非稳定时，

H(z)也