第4章根轨迹法

教学目的：掌握利用根轨迹分析系统的性能教学重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹分析系统性能教学难点：根轨迹的绘制本章授课学时：8第4章根轨迹法4.1根轨迹法的基本概念4.2根轨迹的绘制法则4.3用根轨迹法分析系统的动态特性仿真实现☛☛☛☛本章研究内容第4章根轨迹法返回本章小节☛第4章根轨迹法根轨迹概念:系统开环传递函数中某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征根在s平面上变化的轨迹。稳态性能暂态性能闭环特征根(极点)的位置稳定性闭环系统的零点、极点的位置输入信号根轨迹法：利用根轨迹分析系统性能的方法。（图解法）

已知:一单位反馈二阶系统的开环传递函数为：闭环传递函数为：闭环系统特征方程为：闭环系统特征根（即闭环极点）为：，研究开环放大系数K与闭环特征根s1、s2之间的关系Xr(s)Xc(s)

第4章根轨迹法Ks1s200-20.5-1-1-1+j1-1-j12∞-1+j∞-1-j∞▼▼▼▼▼K=1K=1K=2K=2K=0K=0K=0.5-1j-20j1-j1第4章根轨迹法开环放大系数K改变改变闭环特征根的位置改变系统性能闭环反馈系统的一般结构：开环传递函数:闭环系统特征方程为：Xr(s)Xc(s)-zi——开环有限零点-pj——开环极点Kg——根轨迹放大系数考察闭环特征方程与开环传递函数的关系根轨迹的作用：

1、根据Kg确定闭环特征根的位置，判定系统稳定性；

2、再考虑系统的闭环零点，确定系统的暂态性能；

3、根据对系统规定的性能指标的要求，合理安排零、极点的位置，设计或校正控制系统。绘制根轨迹时，实质上就是当某一参数（如Kg）变化时，寻求闭环特征方程式解s的变化轨迹。第4章根轨迹法幅角条件幅值条件本章返回4.1根轨迹法的基本概念闭环系统的特征方程为：令s=+j复数本节返回本章返回4.1根轨迹法的基本概念（=0，1，2，…）式中i——开环有限零点-zi到s的矢量辐角

j

——开环极点-pj到s的矢量辐角本节返回本章返回注意：测量幅角时，规定以逆时针方向为正

幅值：幅值条件：幅角：幅角条件：j1232sL1

L3

L2

l2

-p3-p2-p1-z1l1

1▼满足幅值条件和幅角条件的s值，就是闭环特征方程的根，这些根所描述的曲线就是根轨迹幅值条件求Kg例4-1已知：系统开环传递函数为：求：闭环特征根s=s0时的放大系数Kk0。本节返回本章返回4.1根轨迹法的基本概念Kk——开环放大系数；-z1=-1/1——开环有限零点；-p0=0，-p1=-1/T1

-p2=-1/T2

其中——根轨迹放大系数；两者区别两者区别解：

开环极点本节返回本章返回4.1根轨迹法的基本概念1132L3

L1

L2

l1

-p2-p1-p0-z1j▼s0幅角条件：1-(1+2+3)=180(1+2)幅值条件：由于，所以开环放大系数为：同时满足本节返回本章返回s点必满足幅值条件和幅角条件：4.1根轨迹法的基本概念自动控制系统的根轨迹绘制根轨迹的一般法则4.2根轨迹的绘制方法零度根轨迹广义根轨迹本章返回4.2.1绘制根轨迹的一般法则绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容：(9项)

起点、终点、根轨迹数、实轴上的根轨迹、分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法注意：实际绘制根轨迹时应根据具体情况有选择性地考虑以上9项内容。当

Kg=0时，有根轨迹的始点——系统的开环极点闭环特征方程：——开环极点本节返回本章返回1、起点4.2根轨迹的绘制方法（Kg=0）系统的开环极点数——根轨迹数2、终点当

Kg=∞时，有根轨迹的终点——系统的开环有限零点——开环零点4.2根轨迹的绘制方法（Kg=∞）有m条根轨迹终止于开环有限零点；另外(n-m)条根轨迹终止于无限远处(无限零点)3、根轨迹数和它的对称性4、实轴上的根轨迹设Nz——实轴上根轨迹右侧开环有限零点的数目Np——实轴上根轨迹右侧开环极点的数目

实轴上某段有根轨迹的条件：

右侧，开环零、极点数目的总和为奇数根轨迹数开环极点数n根轨迹对称于实轴本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法Nz+Np=1+2(=1,2,3…)ABCNz+Np=3Nz+Np=5Nz+Np=1本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法j5、分离点和会合点分离点会合点

b

a

s2-z1-p1

s1-p2▼▼分离点、会合点的位置：注意：分离点、会合点一定在实轴上式中，Kg>0,z1>p1>p2>0，求分离点和会合点。例4-2已知开环传递函数为本节返回本章返回解：N(s)=s+z1，D(s)=(s+p1)(s+p2)-z1-p1–p2j分离点会合点得：本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法▼s1

▼s26、根轨迹的渐近线渐近线的倾角渐近线的交点⑴渐近线的倾角设在无穷远处有特征根sk，则s平面上所有开环有限零点-zi和极点-pj到sk的矢量辐角都相等，即：i=j=

代入幅角条件，得：渐近线的倾角为：(=0,1,2,…)渐近线包括两方面内容本节返回本章返回——有独立的(n-m)条⑵渐近线的交点设无限远处有特征根sk，则s平面上所有开环有限零点-zi和极点-pj到sk的矢量长度都相等。可认为对于sk来说，所有开环零点和极点都汇集在一起，设位置为-k此即为渐近线交点。求此交点坐标-k：由幅值条件：本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法令上式中sn-m-1项的系数相等，即：渐近线交点为：当s=sk=∞，则zi=pj=k，上式化简为：本节返回本章返回试计算渐近线倾角和交点，即确定渐近线的位置。解：渐近线交点为：180о

60о

-60о

j渐近线-k=-5/3

渐近线渐近线例4-3设开环传递函数为：本节返回渐近线倾角为：本章返回m=0，n=3，故有3条渐近线入射角：i——除被测终点外，其他开环有限零点到该点的矢量辐角j——开环极点到被测终点的矢量辐角i——开环有限零点到被测起点的矢量辐角；j

——除被测起点外，其他所有开环极点到该点的矢量辐角出射角：7、根轨迹的出射角和入射角

复数极点——根轨迹的出射角复数零点——根轨迹的入射角p3=-1-j11231求极点p4处的出射角：本节返回例4-4已知开环传递函数为：试确定根轨迹的出射角。解：该系统的开环零点和开环极点分别为：-z=-2，-p1=0，-p2=-3，-p3,4=-1j对于极点p3和p4有出射角。本章返回-p2=-3-z=-2-p1=0p4=-1+j1scp3处的出射角为：8、根轨迹和虚轴的交点

应确定根轨迹与虚轴例4-5已知系统开环传递函数为：试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数Kl。交点坐标值临界放大系数Kl

值。系统闭环特征方程为：F(s)=1+Wk(s)=0F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

方法一：当根轨迹与虚轴相交时，令s=j，Kk=KlF(j)=2Kl-32+j(2-3)=0

即：2Kl-32=0

2-3=0根轨迹与虚轴的交点坐标为：临界放大系数为：Kl=3解得：=0，解：Kg方法二：利用劳斯判据计算交点和临界放大系数临界放大系数Kl：

令s1行为零，即2-2Kk/3=0，得：Kk=Kl=3根轨迹与虚轴的交点：由s2行的辅助方程求得，即令3s2+2Kk=0，得：本节返回由特征方程：F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

劳斯行列表：s31

2s232Kks1

2-2Kk/30s02Kk

本章返回9、根轨迹的走向若特征方程的阶次n-m≥2j本节返回-2-10本章返回4.2根轨迹的绘制方法一些根轨迹右行时

另一些根轨迹必左行特征方程：改写为：本节返回本章返回——各特征根之积4.2根轨迹的绘制方法闭环特征根与特征方程系数的关系：——各特征根之和线性系统特征根之和等于特征方程中sn-1项系数特征根之积等于特征方程中常数项绘制根轨迹的法则：1、起点(Kg=0)

开环传递函数Wk(s)的极点即为根轨迹的起点。2、终点(Kg=∞)开环传递函数Wk(s)的零点(包括无限零点)即为根轨迹的终点。3、根轨迹数目及对称性

根轨迹数目与开环极点数n相同;根轨迹对称于实轴.4、实轴上的根轨迹

实轴上根轨迹右侧的零、极点数目之和应为奇数本节返回本章返回5、分离点与会合点注意：求出s=-d后，应把它代入特征方程计算Kd，只有Kd为正值，s=-d才是分离点或会合点。渐近线的交点：6、根轨迹的渐近线(有n-m条渐近线)渐近线的倾角：本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法7、根轨迹的出射角和入射角。出射角：入射角：8、根轨迹与虚轴的交点。（按劳斯判据计算）9、根轨迹走向

一些根轨迹向右行时，另一些根轨迹必向左行复数极点复数零点本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法4.2.2自动控制系统的根轨迹1、二阶系统Xr(s)Xc(s)解：开环传递函数为：其中本节返回本章返回试绘制根轨迹。4.2根轨迹的绘制方法绘制根轨迹：⑴起点：-p0=0,-p1=-1/T⑵终点：两个开环无限零点⑶根轨迹数：有两条根轨迹⑷实轴上根轨迹：在0~-1/T之间必有根轨迹⑸分离点:令本节返回本章返回则：4.2根轨迹的绘制方法渐近线的交点：渐近线j(=0)本节返回⑹渐近线：有n-m=2条独立的渐近线。

-1/T-1/2T0

渐近线的倾角：本章返回Kg=K⑴起点：起始于两个开环极点-p0=0,-p1=-0.2。⑵终点：终止于一个开环有限零点-z1=-a和一个无限零点⑶实轴上根轨迹：在0~-0.2之间和-a~-∞之间有根轨迹2、开环具有零点的二阶系统

Xr(s)Xc(s)a>0.24.2根轨迹的绘制方法分离点和会合点：⑷根轨迹上的分离点和会合点：⑸复平面上根轨迹本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法设s=+j，代入上式:复平面上各点均满足幅角条件：利用反正切公式:两边取正切整理得:圆:圆心为（-a,0)，半径为本节返回本章返回

s1-a-0.20

s2会合点分离点开环系统中加入一个零点随着Kg的增大，根轨迹向左偏移远离虚轴，使系统动态性能改善本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法其中Kg=4Kk

⑴起点：三个开环极点-p0=0,-p1=-1，-p2=-4⑵终点：终止于三个开环无限零点，无限远⑶根轨迹数：三条本节返回3、三阶系统Xr(s)Xc(s)本章返回⑷实轴上根轨迹：在0-1和-4

-∞之间有根轨迹。⑸分离点：s=-0.467，s=-2.87（省略）⑹渐近线：有n-m=3条渐近线。渐近线倾角：4.2根轨迹的绘制方法渐近线交点：⑹根轨迹与虚轴交点：特征方程：劳斯行列表：s314s2

5Kgs1(20-Kg)/50s0

Kg=0Kg=20，Kk=Kg/4=55s2+Kg=5s2+20=0得：s=2j二阶系统中加入一个极点，随着Kg的增大，根轨迹向右偏移并穿过虚轴，使系统趋于不稳定j2-j260

-60

-5/3-0.467-180

渐近线渐近线渐近线4、开环具有零点的三阶系统Xr(s)Xc(s)其中Kg=K/TiT，-z1=-1/d，-p1=-1/T。(d=4T)本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法⑴起点：有三个开环极点-p0=-p1=0，-p2=-1/T；三条⑵终点：有一个有限零点-z1=-1/d，两个无限零点。⑶实轴上根轨迹：在实轴上-1/T~-1/d之间有根轨迹。⑷渐近线：有2条渐近线绘制根轨迹做=1/2的阻尼线，求此时特征根(3个)设d=4T渐近线

-1/T-1/4T0j60

-R1

▼▼-R2

▼-R3L1=L2L3l1求第3个特征根R3：由闭环特征方程：线性系统特征根之和等于特征方程中sn-1项系数特征根之积等于特征方程中常数项第二节根轨迹的绘制方法本节返回本章返回此时根轨迹放大系数Kg

系统开环放大系数K：本节返回本章返回由幅值条件：4.2根轨迹的绘制方法5、具有复数极点的四阶系统Xr(s)Xc(s)本节返回本章返回

Kg=3Kk

4.2根轨迹的绘制方法⑴起点：四个开环极点0，-3，-1j1；有4条根轨迹⑵终点：一个开环有限零点-2，3个无限零点。⑶实轴上根轨迹：在0~-2和-3~-∞之间有根轨迹。⑷渐近线：有3条渐近线4.2根轨迹的绘制方法⑸出射角：sc1=-26.6，sc2=26.6

本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法⑹根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程：s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0s4182Kgs35（6+Kg）s28-(6+Kg)/52Kgs1(6+Kg)-10Kg/[8-(6+Kg)/5]0s02Kg

=0Kg=7，Kk=Kg/3=2.33[8-(6+Kg)/5]s2+2Kg=0得：s=j1.61

-3-2-10

▼▼-R4

-R3▼▼-R1-R260

-60

sc1=-26.6sc2=26.6-1.58-3.42=j1.61=-j1.61本节返回本章返回Kg=74.2根轨迹的绘制方法求根轨迹与虚轴相交时，另外两个根R3、R4。即：R3=1.58，R4=3.42本节返回s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0特征方程：本章返回R1+R2+R3+R4=(+j1.61)+(-j1.61)+R3+R4=5R1R2R3R4=(+j1.61)(-j1.61)R3R4=2Kg4.2.3零度根轨迹零度根轨迹：根轨迹的幅角条件满足：

（=0，1，2，…）本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法常见于非最小相位系统正反馈系统参数根轨迹的根轨迹Xr(s)Xc(s)其中：闭环特征方程：D(s)-KgN(s)=s(s+p1)-Kg(s-z1)=0即：本节返回本章返回非最小相位系统幅值条件：同前述相同幅角条件：（=0，1，2，…）本节返回本章返回一般情况：4.2根轨迹的绘制方法零度根轨迹绘制方法：⑴起点和终点（相同）：起点p0=0,-p1=-1/T1，终点z1=1/Ta和无限零点。⑵根轨迹数（相同）：有两条。⑶实轴上根轨迹（不同）：存在的条件：它右侧的零、极点数目之和为偶数即在0~-1/T1和1/Ta~∞之间存在根轨迹4.2根轨迹的绘制方法⑷分离点与汇合点（相同）——分离点——会合点复平面上的根轨迹是一个圆，圆心(1/Ta,0)，半径4.2根轨迹的绘制方法⑸根轨迹与虚轴的交点（相同）特征方程：s(s+p1)-Kg(s-z1)=0s2+(p1-Kg)s+Kgz1=0劳斯表：s21Kgz1s1p1-Kg0s0Kgz1Kg=p1=1/T1

=0s2+Kgz1=0s2+p1z1=0本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法

-p1s1p0z1s2

j本节返回本章返回结论：Kg<1/T1，系统稳定Kg=1/T1，临界稳定Kg>1/T1，不稳定4.2根轨迹的绘制方法Kg=1/T1

Xr(s)Xc(s)s系统开环传递函数=内环闭环传递函数本节返回本章返回4.2.4参数根轨迹（广义根轨迹）

常义根轨迹：以Kg作为变量的根轨迹。

广义根轨迹：以Kg以外的参数作为变量的根轨迹。例4-7已知系统的结构图，试以为变量绘制根轨迹。Xr(s)Xc(s)s系统闭环传递函数：闭环特征方程：等效开环传递函数：本节返回本章返回绘制以k为等效开环放大系数的根轨迹4.2根轨迹的绘制方法⑴起点和终点根轨迹始于开环极点:，本节返回本章返回根轨迹终止于有限零点s=0和一个无限零点。有两条根轨迹。⑵实轴上根轨迹：在-∞~0之间有根轨迹。⑶汇合点4.2根轨迹的绘制方法（省略）根轨迹是一段圆弧，圆心为坐标原点，半径为-p1-p2本节返回本章返回4.2根轨迹的绘制方法问题：取何值时，系统工作在欠阻尼状态？求根轨迹会合时的值若使系统工作在欠阻尼状态，的取值为：绘制广义根轨迹，只要整理出系统的等效开环传递函数Weq，找到含有所研究参数的等效开环放大系数，即可把其转换为常规根轨迹的绘制问题得：本节返回本章返回例4-9已知试：绘制以为参数的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。

解：闭环特征方程等效开环传递函数：零度根轨迹4.2根轨迹的绘制方法本节返回本章返回⑴起点和终点根轨迹始于开环极点：s=0，s=-1/2根轨迹终止于有限零点s=1，无限远⑵实轴上根轨迹：在[-1/2，0]，[1~∞]⑶会合点和分离点分离点：会合点：4.2根轨迹的绘制方法本节返回本章返回闭环特征方程：(4)根轨迹与虚轴的交点>>><系统处于临界稳定状态系统处于稳定状态系统处于不稳定状态4.2根轨迹的绘制方法本节返回本章返回利用根轨迹分析系统稳定性在根轨迹上确定特征根4.3用根轨迹法分析系统的性能本章返回利用根轨迹分析系统动态性能控制系统的稳态性能分析开环零点对系统根轨迹的影响开环极点对系统根轨迹的影响开环传递函数绘制闭环系统根轨迹4.3.1在根轨迹上确定特征根已知Kg在根轨迹上确定特征根的位置分析系统的性能——稳定性、稳态性能、暂态性能本节返回本章返回考虑闭环零点的作用4.3用根轨迹法分析系统的性能⑴在根轨迹上取一试点s0。⑵画出s0与系统开环零、极点的连线，量出各连线的长度li,Lj。⑶把li,Lj代入幅值条件，求得Kg值。本节返回本章返回1、试探法（n-m>3）4.3用根轨迹法分析系统的性能有两种方法试探法先确定实轴上的特征根，再确定复数根——幅值条件▼L2s0L4L3l1L1-p4–p3-z1-p2-p12、先确定实轴上的特征根（即选择试点）再确定复数根（n-m≤3）若满足——找到不满足——重试（根据代数方程中根与系数的关系）Xr(s)

Xc(s)解：⑴确定根轨迹起点、终点和根轨迹数：

起始于开环极点0、-1、-4终止于开环无限零点，有三条实轴上根轨迹：在0~-1和-4~-∞之间有根轨迹试确定Kg=10的特征根。本节返回例4-8系统结构图为：本章返回

与虚轴的交点：

闭环特征方程为：

s3+5s2+4s

+Kg=0

劳斯行列表：

s314

s2

5Kgs1

(20-Kg)/50s0

Kg本节返回分离点：

s1=-0.467，s2=-2.869(忽略)本章返回令5s2+Kg=5s2+20=0得：s=2jKg=20jKg=f(-)Kg10-1=-4.6=-0.2+j1.46=-0.2-j1.46-2+j-2-j▼▼-4-102j-2j▼本节返回本章返回4.3用根轨迹法分析系统的性能（Kg=20）（Kg=20）⑵确定Kg=10时实轴上特征根-1由作图法确定Kg=10时，实轴上特征根-1

s=-=-4，Kg=0s=-=-4.5，Kg=7.875s=-=-4.7，Kg

=12.173s=-

=-5，Kg

=20

s=-

=-5.5，Kg

=37.125本节返回特征方程：s3+5s2+4s+Kg=0本章返回近似绘出Kg=f(-)曲线：

在-4~-∞之间取不同的试点s=-，代入特征方程中，求出对应的Kg值。⑶确定复根根据代数方程中根与系数的关系：得：1+(2+j)+(2-j)=5,

1(2+j)(2-j)=10得：2

=0.2，

=1.46两个复根分别为：-0.2+j1.46,-0.2-j1.46本节返回本章返回s3+5s2+4s+Kg=04.3用根轨迹法分析系统的性能本章返回本节返回K*<48——稳定K*=48——临界稳定K*>48——不稳定条件稳定系统

（

用根轨迹法分析系统的稳定性）稳定条件：本节返回本章返回典型二阶系统：

特征方程绘制参数变化时的参数根轨迹：等效开环传递函数：起点（=0）：s1=+jn,s2=-jn，2条终点（）：s=0，负无穷远分离点：4.3.2用根轨迹法分析系统的动态特性本节返回本章返回<<▼▼-n

阻尼线阻尼角强强弱弱n无阻尼振荡角频率本节返回本章返回暂态过程主要取决于离虚轴近的极点当R2≥6R1时，可忽略R2的影响-R2-R1▼▼单位阶跃响应为单指数上升1、闭环系统有两个负实极点2、闭环系统有一对复极点单位阶跃响应为衰减振荡特性离虚轴越近——震荡越强-R1

-R2

▼▼本节返回本章返回讨论：⑴n不变——系统的振荡角频率不变

↑→↓→特征根沿圆弧向虚轴靠近→振荡加强

当=90о，=0，特征根到达虚轴，等幅振荡

↓→↑→特征根沿圆弧向实轴靠近→振荡减弱当=0о，=1，特征根会合于实轴，单指数递增

本节返回本章返回▼▼4.3用根轨迹法分析系统的性能强弱1

2

等阻尼比线等阻尼比线▼n▼n(慢)(快)-1n-1n本节返回本章返回同一条阻尼比线上的复极点具有相同的超调量，但响应速度不同⑵不变——系统的振荡强弱不变-2-1等衰减系数线等衰减系数线小——振荡强大——振荡弱本节返回▼▼本章返回4.3用根轨迹法分析系统的性能（3）n——衰减系数，有相同衰减系数的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间3、闭环系统附加一个零点4、闭环系统附加一个实极点▼▼附加极点的作用：使系统相位滞后，相当于增加阻尼比，超调量减小，但调节时间增长-R-n-z-n▼▼附加零点的作用：使系统相位超前，相当于减小阻尼比，超调量增加当开环放大系数Kg≥Kl时，系统将变成不稳定Kl

=6-2-1渐近线4.3.3开环零点对系统根轨迹的影响举例说明：系统增加一个开环零点：s=-z⑴z>p2>p1

设z=3.6

-3.6-2-10渐近线-0.46Kl=10讨论：0.3系统根轨迹向左偏移，临界开环放大系数Kl有所增大，但性能改善不明显，当开环放大系数：Kg

≥

Kl时，系统不稳定。本节返回本章返回⑵p2>z>p1设z=1.6-0.8-0.54根轨迹继续向左偏移，如果设计得当，闭环系统有三个极点，一个实极点，两个共轭复数极点，且共轭复数极点离虚轴较近，为主导极点，系统近似为二阶欠阻尼系统性能

-2-1.6-10渐近线本节返回本章返回⑶p2>p1>z

设z=0.6-1.42-1.2根轨迹继续向左偏离，当设计得当，系统可有一个实极点和两个复数极点，而且实极点离虚轴较近，系统近似为一阶系统的特性，表现为单调变化的趋势。

-2-1-0.6