清华大学微积分偏导数和全微分_第1页
清华大学微积分偏导数和全微分_第2页
清华大学微积分偏导数和全微分_第3页
清华大学微积分偏导数和全微分_第4页
清华大学微积分偏导数和全微分_第5页
已阅读5页，还剩20页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

10.2多元函数的偏导数10.2.1偏导数偏导数的定义

则称为函数在点

关于变量x

的偏导数.设二元函数若极限存在，对于n

元函数若极限等.

记作:存在,则称为等.

记作

通常记作

更方便.

对变量

的偏导数.

在点例1：对变量x求导解：将y看作常数,在计算时,二元函数同理有例2:解：三元函数偏导数存在

连续偏导数存在与连续:

VeryImportant!例3：

无极限，不连续！

偏导数存在.

连续偏导数存在

例4：初等函数，连续.不存在！

而

方向导数

设是单位向量,

存在,若点沿的方向导数，

则称为f在记作方向导数与偏导数间的关系

设

是的一组标准正交基,方向的方向导数就是偏导数.点沿这n个f在10.2.2高阶偏导数定理：

若在某点其两个二一般来说,高阶混合偏导数与求导顺序有关！什么情况下,

混合偏导数与求导次序无关呢？

对于n元函数阶混合偏导函数

，都连续,

证明:记(只对二元函数证明)不一定等于

即则相等.则同理：令有，

例10.3

多元函数的微分10.3.1微分的概念一元函数微分的概念：多元函数的可微与微分

若存在常向量使得(*)则称函数在点可微,

称为微分.

定理：在可微,(*)成立,则连续.

若且

特别地,在点的各偏导数都存记则

在,证明：

时,□

10.3.2函数可微的充分条件定理证明：

若函数

f各偏导函数在某点都连续,则在该点可微.可微):(偏导连续□

一元函数微分：多元函数微分：

式中a称为导数.

称为梯度,式中由上面定理知,函数沿梯度方向的方向导数最大.例5:求:解:记作例6：切向量的方向导数.

求f在(1,2)沿

的

解：在(1,2)切向量单位化梯度与微分的几何意义

—表示平面.—表示平面,记作称为曲面在点的切平面！

梯度与微分的几何意义

例7：1)在(1,1)处切平面

2)即

切平面在例8研究该函数在原点是否存在偏导数,是否可微.解所以下面证明该函数在原点不可微.则f(x,y)在(0,0)的微分是若该函数在原点可微,根据微分定义，但是容易证明:事实上，因此根据微分定义推出该函数在原点不可微.例9考察该函数在原点是否可微，偏导数是否连续.1.证明函数在原点可微.计算得到容易看出：在原点自变量的改变量是所以并且2.证明该函数的偏导数在原点不连续.没有极限.从而同样的方法可以证明：10.3.4二元函数的原函数问题设函数连续,问是否某个函数的微分？(全微分)若是,则称是的一个原函数.“必要条件”:若有连续的偏导数,且有原函数,则证明:二阶混合偏导连续时必相等例10求的原函数.解:从而有因为所以即数学名家介绍(二)

泰勒(Taylor,Brook,1665.8.18-1731.12.29)英国数学家.生于埃德蒙顿，卒于伦敦.1709年获法学博士学位.1712年当选为皇家学会会员.他和哈雷、牛顿是亲密的朋友.在数学方面，他主要从事函数性质的研究，于1715年出版了《增量方法及其逆》一书，书中发表了将函数展成级数的一般公式，这一级数后来被称为泰勒级数.他还研究了插值法的某些原理，并用这种计算方法研究弦振动问题、光程微分方程的确定问题等.泰勒在音乐和绘画

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论