量子力学：第13讲 表象变换

1量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第十三讲表象变换2目录零、三维各向同性谐振子的回顾一、表象及其变换二、算符的矩阵表示三、量子力学的矩阵形式四、例题3零、三维各向同性谐振子的回顾(1)三维各向同性谐振子在球坐标下的解：与相对应的本征函数为：4零、三维各向同性谐振子的回顾(2)三维各向同性谐振子在直角坐标下的解：5零、三维各向同性谐振子的回顾(3)选取组成力学量完全集。其共同本征函数为各自本征函数的乘积，即：即：6零、三维各向同性谐振子的回顾(4)总能量本征态为线性谐振子解总能量本征值为7零、三维各向同性谐振子的回顾(5)直角坐标系下解和球坐标系下解的关系：球坐标下为的共同本征态。直角坐标下为的共同本征态。因为是同一问题在不同坐标系下的解，应该有相互联系以为例，能级是三重简并，即有三个态：可证明：8一、表象及其变换(1)设代表一组力学量完全集，即是的共同本征函数，一般代表一组量子数。设代表一组力学量完全集，即是的共同本征函数，一般代表一组量子数。设是体系的一个量子态，根据态叠加原理，有：同时称(1)和(2)式分别为态在和表象中的展开式。9一、表象及其变换(2)所谓表象，就是量子态的具体表示方式。称和为态在和表象中的表示因为所以和必定有一定的关系，这种变换关系即为表象变换。10一、表象及其变换(3)矢量在不同坐标系下的变换：矢量在中，有矢量在中，有设，可证明存在一个有：称为幺正矩阵11一、表象及其变换(4)以左乘上式，即全空间积分有：将写为矩阵形式即12一、表象及其变换(5)所以任一量子态在表象中的表示可以通过矩阵变换成表象中的表示

其中：，即可证明：即变换矩阵是幺正矩阵。称上述变换为幺正变换13一、表象及其变换(6)所以任一量子态能够用任一力学量完全集的共同本征函数（它们构成一组正交归一完备基矢）来展开展开系数，称为在表象中的表示。同样可以在表象中展开为：展开系数为，为在表象中的表示，这两种表示可以通过一种幺正变换相联系。即其中：14二、算符的矩阵表示(1)设为某一力学量的算符，量子态经过运算后变成另一量子态，即，设在表象的基矢为

，将和用展开，有，其中列向量和分别为和在表象中的表示。其中：为在表象中的表示。15二、算符的矩阵表示(2)为在表象中的表示。矩阵

就是在表象中的矩阵表示。在表象中，同样有：矩阵

就是在表象中的矩阵表示。16二、算符的矩阵表示(3)对量子态和算符，在表象(基矢)中，有对量子态和算符，在表象(基矢)中，有已知和可以通过幺正变换相联系，即幺正矩阵可证明，矩阵和可以通过幺正矩阵相似变换相联系：17二、算符的矩阵表示(4)

例题：求坐标、动量和哈密顿算符在一维谐振子能量表象中的矩阵表示。【解】：一维谐振子能量表象的基矢为其能量本征函数，有如下性质：坐标在此表象中矩阵表示的矩阵元为：18二、算符的矩阵表示(5)写为矩阵形式为：19二、算符的矩阵表示(6)即：20二、算符的矩阵表示(7)对于，有即：

结论：力学量在其自身表象中，其矩阵表示为一个对角阵。21三、量子力学的矩阵形式(1)在表象(基矢)中,量子态用列向量表示，即，算符用矩阵表示，即其中：

(1)含时薛定谔方程的矩阵表示其中：22三、量子力学的矩阵形式(2)例如，在一维谐振子能量表象中，含时薛定谔方程表示为：即：，若则有：定态解23三、量子力学的矩阵形式(3)

(2)平均值计算公式的矩阵表示在表象(基矢)中,量子态用列向量表示，即，算符用矩阵表示，即其中：在态下，力学量的平均值为24三、量子力学的矩阵形式(4)

(3)力学量本征方程的矩阵表示力学量的本征方程为：在表象(基矢)中：