第1讲中值定理和有关方程的根问题

第一讲：中值定理和有关方程根的问题中值定理在竞赛中具有特殊的地位，它是高数中不多的一种逻辑证明类的问题，分析味道足，综合性强，对数学逻辑推理能力要求较高，很多同学对此比较畏惧，主要是因为我们平时学习中没有引起足够重视，训练不够。主要内容：1、闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性、零点定理、介值定理）2、微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理，泰勒中值定理（公式））方程根的问题，属于微积分应用的范畴。1.1基本理论综述一、涉及函数的中值定理设上连续，则定理1、有界性定理2、最值性定理3、介值定理：当定理4、零点定理：当二、涉及导数（微分）的中值定理定理5、费马定理满足在处(1)可导，（2）取极值，则可导点为极值点的必要条件拉格朗日中值定理罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理定理6-9罗尔，拉氏，柯西，泰勒共有条件：闭区间连续，开区间可导补充：导数零点定理，导数介值定理定理10、设上可导，当定理11、设上可导，当三、涉及积分的中值定理定理12则至少存在一点上连续1.2思路与例题解析一、有关思路总结1、根据欲证结论的形式大致确定需要用哪一个或哪几个定理，一般来说（1）如果结论中的中值属于闭区间，则优先考虑介值定理（2）若结论中的中值属于开区间，则优先考虑微分中值定理（比如拉氏定理）等（3）若结论比较简单，如，则优先考虑罗尔定理,或利用费尔马定理（都是对n-1阶导数用）（4）若结论中有两个中值，则优先考虑应该大区间分为若干小区间，在各个小区间多次使用拉氏定理，或者直接考虑柯西中值定理（5）若结论中含有高阶导数，则优先考虑泰勒公式（6）若结论中含有函数及其各阶导数，则优先考虑拉格中值定理或者泰勒公式将其联系起来若不满足，则（2）改令一次积分，验证是否满足罗尔定理，若不满足，则（3）改令两次积分，将大区间分为小区间各个小区间多次使用中值定理，二、例题解析2、若结论中的中值属于开区间，且需要做辅助函数，（1）将结论中的中值改写为，通过整理使等式一端为0，另一端记为，令验证是否满足零点定理，满足则命题成立，分析:所给条件可写为想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且例8、证明存在例9、设上具有一阶连续导数，且证明，至少存在一点，使得分析，本题结论中的中值属于闭区间，优先考虑介值th(1)由于上连续，故上必取最大值M,和最小值m，则对（2）建立的关系，用拉氏定理于是，即，由介值定理，至少存在一点，使得例10、设上有连续的二阶导函数，，证存在一点分析（1）闭区间，优先用介值定理（2）可考虑用泰勒公式对展开式两端积分得由于上连续，故由介值定理，存在例11、已知上连续，内可导，且证明：（1）（2）两个不同的证明(1)所以有，由零点定理即证（2）用把分成两个小区间，并分别用拉氏定理有，所以，例12，设函数在上连续，在内可导，且证明：存在证明：用将划分为，在这两个区间上分别对使用拉格朗日中值定理，得和要证的等式比较，得即可于是取，命题得证注意：本题采用了反推思想，1.3泰勒中值定理（公式）—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当公式①称为的n

阶泰勒公式.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项.公式③称为n

阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中其中类似可得其中特别地（5）佩亚诺余项（6）已知其中类似可得三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.常用的泰勒展开式由此，可得2.利用泰勒公式求极限解:由于用泰勒公式将分子展到项,例1.求用洛必塔法则不方便

!例2、求分析，时，故同理所以原极限=例3当与是等价无穷小，求常数a,b分析，由题设，问题：用泰勒公式究竟要展开到几阶？注意一个要点就可以，叫做上下同阶例4、求分析：分母是4次的，所以用泰勒公式时分子只需要展开到4阶就可以了所以例1、设，求分析：所求阶数不高，可以直接求，但是如果将展开至3阶，设故例2、设析：3、利用泰勒公式计算函数的高阶导数又由麦克劳林公式令4、用于逻辑推理证明问题例1、设上具有二阶导数，且满足条件为非负常数，证明，对任意的证明：上有二阶导数，展开为泰勒公式为分别令得两式相减得，上式两端取绝对值，并放大在，有例2，若其中A为非零任意常数，且解：由题设知，存在足够大,使得在内存在二阶导数，由于结论要求是带自变量x的，所以可以展开为泰勒公式为介于之间，令所以例2，设在上二阶导数连续，并且当时，，证明：证明：由于在上二阶导数连