数字图像处理 第7章

数字图像处理

第七章数学形态学及应用

本章主要内容形态学的发展形态学的基础知识腐蚀与膨胀开操作与闭操作形态学的主要应用7.1数学形态学的发展

形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动物和植物的形状和结构。“数学形态学（MathematicalMorphology）是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。

数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集合论是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。7.2

数学形态学的基本概念

数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。集合代表图像中物体的形状。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。数学形态学的基础运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。基本思想：利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动，在此过程中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关系，从而了解图像的结构特征。

用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。图7.1数学形态学的方法一些基本的定义

（1）集合：具有某种性质的确定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母A,B,C,…

表示，空集用Φ

表示。

（2）元素：构成集合的每一个事物称之为元素，元素常用小写字母表示，应注意的是任何事物都不是空集的元素。（3）平移转换：设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是定义，对集合A的平移转换为:(7-1)（4）子集：当且仅当A集合的所有元素都属于B时，称A为B的子集。（5）补集：定义集合A的补集为:(7-2)

（6）差集：定义集合A和B的差集为(7-3)

(7-4)

（8）并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集。（9）交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集。（7）映像：定义集合B的映像为(7-5)

图7-2

(a)集合A；(b)用x平移集合A后的结果；(c)集合B；(d)B的反转；(e)集合A和它的补集；(f)两个集合的差集(如阴影所示)。前四幅图的黑点表示了每个集合的起点。二值图像的逻辑运算7.3二值形态学的膨胀和腐蚀结构元素＊形态学图像处理表现为一种邻域运算形式；＊一种特殊定义的邻域称之为“结构元素”（StructureElement），在每个像素位置上它与二值图像对应的区域进行特定的逻辑运算，逻辑运算的结果为输出图像的相应像素。＊形态学运算的效果取决于结构元素的大小、内容以及逻辑运算的性质。

膨胀Dilation＊膨胀：使图像扩大＊A用B来膨胀写作，定义为：＊上式表示：B的反射进行平移与A的交集不能为空＊B的反射：B相对于自身的映像＊B的反射进行移位，以便它能滑过集合（图像）A用B来膨胀A得到的集合是的位移与A至少有1个非零元素相交时B的原点位置的集合。例题：《图像处理与分析》P256AB图7-3

膨胀操作的例子图7-3(a)表示一个简单的集合，图7-3(b)表示一个结构元素及其“映射”。在此图情况下，因为结构元素B关于原点对称，所以，结构元素B及其映射相同。图7-3(c)中的虚线表示作为参考的原始集合，实线示出若的原点平移至x点超过此界限，则与A的交集为空。

这样实线内的所有点构成了A被B的膨胀。图7-3(d)表示预先设计的一个结构元素，其目的是为了得到一个垂直膨胀比水平膨胀大的结果。图7-3(e)显示为用此构成元素膨胀后得到的结果。

被腐蚀，记为，其定义为：(7-8)

也就是说被的腐蚀的结果为所有使被x平移后包含于的点x的集合。

腐蚀Erosion腐蚀运算的示例图(a)中的阴影部分为集合A，图(b)中的中的阴影部分为结构元素B，而图(c)中黑色部分给出了结果。用B来腐蚀A得到的集合是B完全包括在A中时B的原点位置的集合。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。图7-4表示了类似于图7-3的一个过程。象以前一样，集合A在图7-4(c)用虚线表示作为参考。实线表示若B的原点平移至x点超过此界限，则A不能完全包含B。这样，在这个实线边界内的点构成了A被B的腐蚀。

图7-4(d)画出了伸长的结构元素，图7-4(e)显示了A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀成一条线了。

图7-4

腐蚀操作的例子不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响E1=3*3方形结构单元原图E1膨胀后图像E1腐蚀后图像不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响原图E1膨胀后图像E1腐蚀后图像E2=5*5方形结构单元（a）含长度为1，3，5，7，9，15的正方形（b）结构元素为13×13，对（a）腐蚀的结果（c）结构元素为13×13，对（b）进行膨胀筛选

7.4开运算和闭运算如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。

设A

是原始图像，B

是结构元素图像，则集合A

被结构元素B

作开运算，记为AοB

，其定义为：换句话说，A

被B开运算就是A

被B

腐蚀后的结果再被B

膨胀。作用：使用对象轮廓平滑，断开狭窄的间断、消除细的凸出物，去除小亮点（相对于结构元素）----“减”开运算（Opening）(7-9)

设A是原始图像，B

是结构元素图像，则集合A被结构元素B作闭运算，记为，其定义为：

换句话说，A被B

开运算就是A

被B

膨胀后的结果再被B

腐蚀。作用：使轮廓平滑，融联狭窄间断和长细的深沟，消除小孔洞，填补轮廓线的断裂----“加”总之:开操作体现“分开”，闭操作体现“联接”

闭运算(Closing)(7-10)

图7-5图释了集合A被一个圆盘形结构元素作开运算和闭运算的情况。图7-5(a)是集合

A

，7-5(b)示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示于图7-5(c)。注意，A

的两个主要部分之间的桥梁被去掉了。“桥”的宽度小于结构元素的直径；由于同样的原因A

的最右边的部分也被切除掉了。图7-5(d)画出了对腐蚀的结果进行膨胀的过程，而图7-5(e)示出了开运算的最后结果。同样地，图7-5(f)─7-5(i)示出了用同样的结构元素对A

作闭运算的结果。结果是去掉了A

的左边对于B

来说较小的弯。注意，用一个圆形的结构元素对集合A

作开运算和闭运算均使A

的一些部分平滑了。图7-5

开运算和闭运算的图示

图7-6为开、闭具体实例：图7-7细胞组织图像的灰值形态运算7.5数学形态学的应用

在前面讨论的背景知识基础之上，我们可以探讨形态学的一些实际应用。当处理二值图像时，形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界线、连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。

此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也经常与上述算法相结合在图像预处理和图像后处理中使用。这些算法的讨论大部分采用的是二值的图像，即只有黑和白两级灰度，1表示黑，0表示白。

集合A的边界记为(A)，可以通过下述算法提取边缘：设B是一个合适的结构元素，首先令A被B腐蚀，然后求集合A和它的腐蚀的差。如下式所示：

7.5.1边缘提取算法(7-11)

图7-8解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单的二值图像，图7-8(b)中的结构元素是最常用的一种，但它决不是唯一的。如果采用一个5×5全“1”的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注意的是，当集合B的原点处在集合的边界时，结构元素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处理是约定集合边界外的值为0。

图7-8

边缘提取算法示意图

7.5.2区域填充算法

下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和取交的区域填充的简单的算法。在图7-9中，A表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8字形的连接边界的区域。从边界内的一点P开始，目标是用1去填充整个区域。

假定所有的非边界元素均标为0，我们把一个值1赋给P开始这个过程。下述过程将把这个区域用1来填充：

其中，，B为对称结构元素，如图7-9(c)所示。当k

迭代到时，算法终止。集合和A的并集包括填充的集合和边界。

(7-12)

如果公式(7-11)的膨胀过程一直进行，它将填满整个区域。然而，每一步与AC的交把结果限制在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为条件膨胀）。图7-9剩下的部分解释了公式(7-11)的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在任何有限个这样的子集中。图7-9区域填充算法

7.5.3细化

集合A被结构元素的细化用表示，根据击中（hit）(或击不中miss)变换定义：

对称细化A的一个更有用的表达是基于结构元素序列：

其中是的旋转。(7-13)

(7-14)

①集合B包含于X（表示为）②集合B击中X（表示为），即：③集合B相离于X即：

图7-1击中X，相离于X，包含于X

根据这个概念，我们现定义被一个结构元素序列的细化为

)

换句话说，这个过程是用细化A，然后用细化前一步细化的结果等等，直到A被细化。整个过程重复进行到没有进一步的变化发生为止。

(7-15)

图7-10(a)是一组用于细化的结构元素，图7-10(b)为用上述方法细化的集合A。图7-10(c)示出用细化A得到的结果，图7-10(d)-(k)为用其它结构元素细化的结果。当第二次通过时收敛。图7-10(k)示出细化的结果。图

7-10细化处理

图

7-10

细化处理

7.5.4粗化运算

粗化是细化的形态学上对偶，记为A⊙B,定义为

A⊙B＝A

其中B是适合粗化的结构元素。象细化一样，粗化可以定义为一个序列运算：

A⊙{B}=⊙）⊙）…）⊙）

(7-16)

(7-17)

用来粗化的结构元素同细化的结构元素具有相同的形式。只是所有的0和1交换位置。然而，在实际中，粗化的算法很少使用。相反的，通常的过程是细化集合的背景，然后求细化结果的补而达到粗化的结果。换句话说，为了粗化集合A，我们先令，细化C，然后得到即为粗化结果。图7-11解释了这个过程。

如图7-11(d)所示，这个过程可能产生一些不连贯的点，这取决于A的性质。因此，用这种方法粗化通常要进行一个简单的后处理步骤来清除不连贯的点。从图7-11(c)可以看出，细化的背景为粗化过程形成一个边界。这个有用的性质在直接使用公式(7-17)实现粗化过程中不会出现，这是用背景细化来实现粗化的一个主要原因。图

7-11粗化处理

7.5.5裁剪

由于图形细化和骨骼化运算法有可能残留需要在后续处理中去除的寄生成分，因而剪贴方法成为对图形细化、骨骼化运算的必要补充。下面将讨论裁剪问题，我们将运用已成熟的理论来阐明如何通过融合现今已有的技术来解决这样的一个问题。

分析每个待识别字符的骨骼形状是自动识别手写字符的一种常见处理方法。由于对组成字符的笔画的不均匀腐蚀，字符的骨架常常带有“毛刺”（一种寄生成分）。这里将提出一种解决这种问题的形态学方法。首先我们假设寄生成分“毛刺”的长度不超过3个象素。

图7-13(a)显示了手写字符“a”的骨骼。在字符最左边部分的寄生成分是一种我们感兴趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不断减少该字符的终点，对寄生成分加以抑制。当然不可否认这样也不可避免的会消去（或减少）被处理字符其余必要的骨架，

但是缺少的结构信息是在我们最多不超过3个象素的假设前提下，即最多减少3个象素的字符结构信息的前提下。对于一个输入集合A，通过一系列用于检测字符端点的结构元素的细化处理，达到我们所希望的结果。即：(7-23)

图7-15裁剪的例子

(a)是原像，(b)和(c)是结构元素，（d）细化三次的结果，（e）端点，(f)在（a）的条件下端点的膨胀，（g）裁剪后的图像。图7-15裁剪的例子

数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉及随机集论、近世代数和图论等一系列数学分支。数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。数学形态学的基于集合的观点（1）运算由集合运算（如并、交、补等）来定义；（2）所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更适合视觉信息的处理和分析。数学形态学进行图像处理有其独有的特性：（1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简单的数值关系。（2）是一种非线性的图像处理方法，并且具有不可逆性。（3）可以并行实现。（4）可以